Разностное уровнение

[Innser]

Нужно найти общее решение разностного уравнения:
$y_{k} = \cos(k\phi) + \frac{7}{12}y_{k-1} - \frac{1}{12}y_{k-2}$
Как оно находиться? Если можно по подробней как нужно решать?

[gris]

Да примерно, как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Тоже решить характеристическое уравнение, ну и так далее. Попробуйте. Корни по теореме Виета так и бросаются в глаза.

[Innser]

То есть я найду корни характеристического уравнения и получу общее решение однородного уравнения в виде:
$y = C_{1} e^{\frac23x}+C_{2}e^{\frac12x}$
а общее решение неоднородного будет, общее решение однородного плюс частное решение неоднородного?
А как найти частное решение?

[gris]

Нет, это для дифференциального Вы написали решение( правда корни ХУ не такие). Для разностного аналогично, но немного по-другому, хотя принцип тот же, да и правая часть тоже специального вида. Частное решение ищется по формулам. И, наверное, будет зависеть от $\varphi$.

[Innser]

Для разностного наверное тогда так:
$y_{k} = C_{1}\frac23^k + C_{2}\frac12^k + y_{k}^{(0)}$
а частное наверное по такой формуле
$y_{k}^{(0)} = |\lambda|^k[T_{s}(k)\cos k\alpha + U_{s}(k)\sin k\alpha]$

[gris]

Корни характеристического уравнения другие.

[ewert]

Независимо от корней (хотя они, конечно, и неправильные). Частное решение неоднородного следует искать в виде некоторой линейной комбинации синусов и косинусов. Или, что то же, в виде комбинации соответствующих геометрических прогрессий с комплексными знаменателями, по модулю равными единице. Поскольку корни характеристического уравнения (даже если их найти верно) -- уж никак не комплексны.

[Innser]

а характеристическое уравнение такое будет??
$\lambda^2 - \frac{7}{12}\lambda+\frac{1}{12} = 0$

[ewert]

Такое. Теперь вспомните таблицу умножения и пр.

[Innser]

Получается
$y_{k}= C_{1}\frac13^k+C_{2}\frac14^k + y_{k}^{(0)}$

[ewert]

ну, последнее слагаемое в приличном опчестве обозначать таким способом как-то не принято, но это и не важно; а так -- пока сойдёт. Ищите последнее слагаемое.

[Innser]

В учебнике нашел вот такое это не правильно:
$y_{k}^{(0)} = a\cos(\varphi k) + b\sin(\varphi k)$
a и b - неопределенные коэффициенты которые находятся подстановкой в заданное уравнение.

Извиняюсь если что пишу не так, просто этого не знаю, прочитал это в учебнике там так обозначено.

[ewert]

Innser в сообщении #445873 писал(а):

В учебнике нашел вот такое это не правильно:

это правильно (хотя полезно и понимать почему, а не просто "находить в учебниках"). И вообще клянчить на протяжении почти страницы -- не вполне спортивно. Можно бы быть и поактивнее.

[Innser]

Спасибо за помощь, просто не очень я все это понимаю, по этому и не знаю как правильно как нет.