Замечание к теореме Гамильтона-Кэли

[nnosipov]

ewert в сообщении #445419 писал(а):

nnosipov в сообщении #445417 писал(а):

надо аккуратно разобраться с теоремой Безу в некоммутативном случае (это и должно быть за спиной)

Это занятие довольно бессмысленно, если не выстраивать некую достаточно общую теорию лямбда-матриц. Между тем теорема Гамильтона-Кэли сама по себе никакой такой теории не требует.

Не думаю, что изучать многочлены над некоммутативными кольцами бессмысленно. А то, что теорема Г-К может быть доказана без всяких особых теорий --- общеизвестно, см., например, "Лекции по линейной алгебре" Гельфанда.

[alex1910]

Многочлен - это просто набор коэфициентов. Какую природу имеет независимая переменная - не суть важно, так как переменная всегда коммутирует с самой собой и единицей (своего кольца) - поэтому теорема Безу работает, если "корни" лежат в центре кольца.

[ewert]

nnosipov в сообщении #445423 писал(а):

Не думаю, что изучать многочлены над некоммутативными кольцами бессмысленно.

Не бессмысленно, конечно. Но далеко не всем нужно. Гораздо меньшему количеству народа, чем теорема Г.-К.

[nnosipov]

ewert в сообщении #445426 писал(а):

nnosipov в сообщении #445423 писал(а):

Не думаю, что изучать многочлены над некоммутативными кольцами бессмысленно.

Не бессмысленно, конечно. Но далеко не всем нужно. Гораздо меньшему количеству народа, чем теорема Г.-К.

Согласен. Когда я читал учебник Гельфанда, ещё будучи студентом, поразила какая-то искусственность (да и громоздкость) в доказательстве этой теоремы и захотелось других объяснений. Вот и поразмышлял на досуге.

[Padawan]

В Гантмахере "Теория матриц" теорема Гамильтона-Кэли как раз на основе теоремы Безу для матричных многочленов доказывается.

[nnosipov]

Padawan в сообщении #445446 писал(а):

В Гантмахере "Теория матриц" теорема Гамильтона-Кэли как раз на основе теоремы Безу для матричных многочленов доказывается.

Да, здесь трудно придумать что-то новенькое.

(Оффтоп)

Кстати, здесь, наверное, уже обсуждались разные способы доказательства теоремы о приведении к жордановой нормальной форме? Вот уж где простор для методических изысканий.

[ewert]

Padawan в сообщении #445446 писал(а):

В Гантмахере "Теория матриц" теорема Гамильтона-Кэли как раз на основе теоремы Безу для матричных многочленов доказывается.

Вот именно. Он предварительно развивает некую могуче-многочленную теорию. Которая нужна ему, конечно, для каких-то других целей (что само по себе возражений вызывать, разумеется, не может), и получает он ту теорему как некий побочный результат. Но для самой-то теоремы та теория -- не нужна совершенно.

Кстати, мне лично и сама теорема Гамильтона-Кэли тоже совершенно не нужна. Поскольку в моём сермяжном представлении она может если и понадобиться, то вот как раз в выводе существования жордановой формы. Но там и без неё можно прекрасно обойтись, причём примерно с теми же суммарными трудозатратами, но зато конструктивнее. А если есть Дося (или наоборот) -- зачем стирать лишне?...

[caxap]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #445518 писал(а):

Кстати, мне лично и сама теорема Гамильтона-Кэли тоже совершенно не нужна. Поскольку в моём сермяжном представлении она может если и понадобиться, то вот как раз в выводе существования жордановой формы.

Иногда помогает вычислять большие многочлены от маленьких матриц (без вычисления ЖНФ). Т. е. пусть $f$ -- многочлен (напр. $x^{100}$), $p$ -- хар. многочлен матрицы $A$ маленькой степени $n$. Поделим $f$ на $p$ с остатком: $f=pq+r$, тогда $f(A)=r(A)$, а степень $r$ меньше $n$.

[Padawan]

У матричного многочлена $P(\lambda)=P_0+P_1\lambda+\ldots+P_n\lambda^n$ следует различать правое и левое значение при $\lambda=A$.
Правое $P(A)=P_0+P_1A+\ldots+P_nA^n$, левое $\hat P(A)=P_0+AP_1+\ldots+A^nP_n$.
Как сказано в Гантмахере (и почти очевидно -- в две строчки) "правое (левое) значение произведения двух матричных многочленов равно произведению правых (левых) значений сомножителей, если матрица-аргумент $A$ перестановочна со всеми коэффициентами правого (левого) сомножителя".

Поэтому в тождество $B(\lambda)(A-E\lambda )=\det(A-E\lambda)E$ можно подставлять справа $\lambda=A$, т.к. $A$ перестановочна с коэффициентами $A-\lambda E$. И не важно, перестановочны ли коэффициенты $B(\lambda)$ с $A$ или нет.

[alex1910]

caxap в сообщении #445543 писал(а):

(Оффтоп)

ewert в сообщении #445518 писал(а):

Кстати, мне лично и сама теорема Гамильтона-Кэли тоже совершенно не нужна. Поскольку в моём сермяжном представлении она может если и понадобиться, то вот как раз в выводе существования жордановой формы.

Иногда помогает вычислять большие многочлены от маленьких матриц (без вычисления ЖНФ). Т. е. пусть $f$ -- многочлен (напр. $x^{100}$), $p$ -- хар. многочлен матрицы $A$ маленькой степени $n$. Поделим $f$ на $p$ с остатком: $f=pq+r$, тогда $f(A)=r(A)$, а степень $r$ меньше $n$.

Не только многочлены, но и любые сходящиеся степенные ряды.