Действие для ЭМ поля

[ChaosProcess]

В ЛЛ2 вывод уравнений Максвелла в лоренц-инвариантной форме осуществляется с помощью варьирования действия для поля. Т.е. мысль о разделении полного действия на действие для свободных частиц, частиц движущихся под действием поля и действие для самого поля логична, но не ясно как вообще можно написать действие для поля. Оно не движется, для него нет понятия прямого пути.
Расшарьте если не сложно.

[Munin]

Оно "движется", но это движение - более абстрактное, чем вы привыкли в механике. Вместо пространственных обобщённых координат в механике $q_i$ - в качестве аналогичных физических степеней свободы у поля выступают полевые переменные $\varphi_i(x^j)$ (где $x^j$ - тоже индекс, то есть степеней свободы бесконечно много). Такое представление для поля получается по аналогии с представлением сплошной механической среды, которая рассматривается как предел от конечно-частичной конструкции из массивных частиц, связанных потенциальными взаимодействиями (грузиков и пружинок). Интеграл действия в этом случае берётся по интервалу времени, и по некоторой области пространства, то есть функция Лагранжа - трёхмерный интеграл от плотности функции Лагранжа, по этой области. Такая четырёхмерная область - цилиндр, значения поля в этой области - это и есть "траектория" поля, именно в ней и ищется "наиболее прямой путь" (точне, минимизирующий действие). Почитать о таком формализме можно в книжке Голдстейн. Классическая механика, последняя глава, и в Физической энциклопедии.

Дальше эту конструкцию можно релятивизировать и обобщить, если изменить взгляд на неё, оставляя математику неизменной. А именно, теперь скажем, что наши полевые переменные - это $\varphi_i,$ а $x^\mu,$ принимающие значения в некоторой четырёхмерной области - это аналоги моментов времени, пробегающих интервал интегрирования. Теперь у нас подынтегральное выражение возвращает себе имя лагранжиана, а область может иметь вид не только цилиндра вдоль оси времени, но и произвольной четырёхмерной области, корректной для задачи решения уравнений поля. Поле, заполняющее эту область, по-прежнему есть "траектория", но "конечными точками пути" становятся все границы области интегрирования. О таком взгляде написано в книжке Медведев. Начала теоретической физики.

Оба взгляда правомерны, математика в них одинаковая. Названия "лагранжиан" и "плотность лагранжиана" используются чуть ли не совсем взаимозаменяемо (кроме обсуждения тонкостей и случаев педантизма).

[ChaosProcess]

О, спасибо. Литературу еще не смотрел, но прямо сейчас хотелось бы задать один поясняющий вопрос:
т.е. фактически мы работаем в пространстве потенциалов поля и ищем "прямой путь" при изменении пространства-времени?

P.S. странно что в Ландау нет ни слова о лагранжевой плотности. Может он упоминал об этом в первом томе?
P.P.S. а в Фейнмане об этом подходе что-нибудь написано?
P.P.P.S. почему в Ландау в качестве лагранжиана берется свертка тензора ЭМ поля, а не, например, другой инвариант?

-- Вс май 08, 2011 16:45:29 --

Аккуратно все прочитал и вроде понял
Еще раз спасибо за литературу, очень подходящая информация именно по моему вопросу.

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #443569 писал(а):

т.е. фактически мы работаем в пространстве потенциалов поля и ищем "прямой путь" при изменении пространства-времени?

Да. Хотя есть некоторый произвол, что именно выбрать за величины, играющие роль степеней свободы поля. Традиционно работают с потенциалами, но можно взять за них и сами напряжённости, и написать лагранжиан для них. И может быть, даже подняться к ещё более высоким производным, не знаю. Ещё надо не забывать, что на самом деле потенциалы не совсем независимы, а на них наложена связь - калибровка; или если нет калибровки, часть степеней свободы оказывается нефизической.

ChaosProcess в сообщении #443569 писал(а):

P.S. странно что в Ландау нет ни слова о лагранжевой плотности. Может он упоминал об этом в первом томе?

Ландау просто не пользуется этим термином, до параграфа про ТЭИ. А в первом томе не упоминал. И вообще, не надо думать, что Ландау всеобъемлющ, многие полезняшки черпаются из других источников.

ChaosProcess в сообщении #443569 писал(а):

P.P.S. а в Фейнмане об этом подходе что-нибудь написано?

Нет, в ФЛФ вообще формализм действия не используется.

ChaosProcess в сообщении #443569 писал(а):

P.P.P.S. почему в Ландау в качестве лагранжиана берется свертка тензора ЭМ поля, а не, например, другой инвариант?

Как пишет Иваненко в Классической теории поля, другие инварианты приводят к нелинейным уравнениям поля, или к явной зависимости от потенциалов, которая противоречит калибровочной инвариантности. Наконец, некоторые инвариантные выражения отличаются от данного на полную производную, и дают те же уравнения поля, так что среди них данное используется из-за удобства, красоты и традиции (впрочем, в квантовом случае с эквивалентностью ситуация сложнее, и используются несколько разных вариантов действия). Это действие вывел в 1900 Планк, а с членом взаимодействия - в 1903 Шварцшильд (до создания СТО!), вот только я не могу вспомнить, где это вычитал.

[ChaosProcess]

Munin в сообщении #443666 писал(а):

Ландау просто не пользуется этим термином, до параграфа про ТЭИ.

Да, я поспешил, там все написано.

Munin в сообщении #443666 писал(а):

Как пишет Иваненко в "Классической теории поля", другие инварианты приводят к нелинейным уравнениям поля, или к явной зависимости от потенциалов, которая противоречит калибровочной инвариантности. Наконец, некоторые инвариантные выражения отличаются от данного на полную производную, и дают те же уравнения поля, так что среди них данное используется из-за удобства, красоты и традиции

По этому поводу в ЛЛ2 есть сноска, где напоминается, что второй инвариант является 4-дивергенцией и не будет влиять на уравнения движения.

-- Вс май 08, 2011 21:40:58 --

Munin в сообщении #443666 писал(а):

И вообще, не надо думать, что Ландау всеобъемлющ, многие полезняшки черпаются из других источников.

Ну по этому поводу у нас бытует мнение, что любому тому ландавшица можно найти более развернутую замену

[Утундрий]

ChaosProcess в сообщении #443722 писал(а):

любому тому ландавшица можно найти более развернутую замену

Это как раз не удивительно. А вы попробуйте найти более свернутую...