Пузырёк.

[dovlato]

В воде находится воздушный шарик некоторого определённого радиуса. Давление воды зафиксировано. Температура постоянна. Гравитации нет. Газ идеальный.
Пусть теперь в центр пузырька помещается точечный заряд (в электропроводной воде поля нет).
Требуется получить уравнение, связывающее отношение нового радиуса шарика к первоначальному - и отношение плотности энергии поля у границы шарика к давлению воды. Найти предельную величину плотности энергии, при которой шарик ещё не схлопывается (т. е. существует конечное решение в предположении идеальности газа).

[obar]

Радиус пузырька определяется уравнением

$$ r^4\left(\frac{1}{r^3}-\frac{1}{r_0^3}\right)=\frac{q^2}{6\nu RT}. $$

Максимальный заряд

$$ q_{max}^2=\frac{9}{2^{5/3}}\nu RTr_0. $$

[dovlato]

У меня решение такое. Дополнительное давление, создаваемое эл. полем, численно равно плотности энергии этого поля, то есть $p_e=\epsilon$.

$$p=p_0+p_e; \quad p_e=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2};$$

$$ E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0R^2}$$

Без заряда имеем уравнение состояния:

$$p_0V_0=\nu RT$$

Отсюда

$$\frac{p_0V_0}{V}=p_0+\frac{\varepsilon_0 E^2}{2};$$

$$\left(\frac {r_0}r \right)^3=1+\frac{\varepsilon_0 E^2}{2p_0}$$

$$\left(\frac {r_0}r \right)^3=1+\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2p_0} \left(\frac{r_0}r \right)^4$$

Или иначе

$$s^3=1+\frac{\epsilon_0}{p_0}s^4$$

где

$$s=\frac{r_0}r; \quad \epsilon_0=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}2$$

Пороговое значение плотности энергии эл. поля достигается тогда, когда производные по параметру $s=r_0/r$ слева и справа
сравниваются при $s=1$, то есть при выполнении равенства

$$\frac{\epsilon_0}{p_0}=\frac 34$$

То есть у меня получается так, что определяющим параметром оказывается отношение плотности энергии к давлению жидкости.

[obar]

Поскольку наши ответы не совсем совпадают, приведу свое решение. Пусть давление воды $P_0$, давление насышенного пара при данной температуре $P_n$, давление воздуха в пузырьке до и после введение заряда $P_1$ и $P_2$ соответственно. Тогда

$$ P_n+P_1=P_0,\quad P_n+P_2=P_0+P_e $$

где

$$P_e=\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0r^4_2}$$

дополнительное давление поля (в СИ, также как и у вас). Вычитая, находим

$$ P_2-P_1=P_e $$

Далее,

$$ P_1V_1=P_2V_2=\nu RT, \quad V_i=4\pi r_i^3/3. $$

Из этого уравения находим $P_1$, $P_2$ и подставляем в предудущее выражение. После преобразований, получаем

$$ r^4_2\left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\frac{q^2}{24\pi\nu\varepsilon_0RT}. $$

[Munin]

В реальном пузырьке большую роль играют испарение воды в объём пузырька и растворение воздуха из пузырька в окружающей воде. Впрочем, вряд ли вас это интересует, если вы обсуждаете такие нереалистичные плотности энергии ($1\text{ атм}\times c^2=10^{22}\text{ Дж}/\text{м}^3$ даёт $10^{16}\text{ В}/\text{м}$). При таких полях и пробой воздуха давно наступит...

[obar]

Munin, не будьте занудой, это вам не к лицу.

[dovlato]

Всё ему к лицу))..
Я попытался выразить ваш результат через плотность и давление - и, похоже, всё сходится, чуть ли не вплоть до всех коэффициентов! Меня всегда как-то в транс вводят ситуации, на первый взгляд сложные - и вдруг разрешающиеся через какую-нибудь пару параметров. Кроме того, любопытно показалось, что своеобразный коллапс (ну ладно, пусть хотя бы теоретически) может быть в классической области.

[Munin]

Тогда можно было рассмотреть и просто падение заряженной сферической оболочки на центральный заряд... Кстати, раз вам такая задача нравится, ещё можно найти энергию, излучаемую электромагнитными волнами, и звуковыми. И скорость в конце коллапса.

[dovlato]

Видимо, электромагнитного излучения не будет - при условии абсолютной симметрии задачи. Зато звук, конечно, возникнет, наверное типа ударной волны. Но, увы-увы, тут моей грамотности совершенно не достаточно..
Впрочем, нет - мгновенного щелчка может и не произойти. Ведь в таком случае задача уже явно перестаёт быть квазистационарной - это будет приблизительно адиабата с нагревом газа. Видимо, характер процесса определится величиной $\gamma=1+2/i$.
Тут уже надо считать..до некоторого порога $\gamma_0$ шарик, думается, почти мгновенно схлопывается, а после него - будет постепенное сжатие, по мере отдачи тепла в пространство.