2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пузырёк.
Сообщение09.05.2011, 23:16 
В воде находится воздушный шарик некоторого определённого радиуса. Давление воды зафиксировано. Температура постоянна. Гравитации нет. Газ идеальный.
Пусть теперь в центр пузырька помещается точечный заряд (в электропроводной воде поля нет).
Требуется получить уравнение, связывающее отношение нового радиуса шарика к первоначальному - и отношение плотности энергии поля у границы шарика к давлению воды. Найти предельную величину плотности энергии, при которой шарик ещё не схлопывается (т. е. существует конечное решение в предположении идеальности газа).

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение10.05.2011, 11:46 
Радиус пузырька определяется уравнением
$$
r^4\left(\frac{1}{r^3}-\frac{1}{r_0^3}\right)=\frac{q^2}{6\nu RT}.
$$
Максимальный заряд
$$
q_{max}^2=\frac{9}{2^{5/3}}\nu RTr_0.
$$

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 13:58 
У меня решение такое. Дополнительное давление, создаваемое эл. полем, численно равно плотности энергии этого поля, то есть $p_e=\epsilon$.
$$p=p_0+p_e; \quad p_e=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2};$$
$$ E=\frac{q}{4\pi \epsilon_0R^2}$$
Без заряда имеем уравнение состояния: $$p_0V_0=\nu RT$$
Отсюда $$\frac{p_0V_0}{V}=p_0+\frac{\varepsilon_0 E^2}{2};$$
$$\left(\frac {r_0}r \right)^3=1+\frac{\varepsilon_0 E^2}{2p_0}$$
$$\left(\frac {r_0}r \right)^3=1+\frac{\varepsilon_0 E_0^2}{2p_0} \left(\frac{r_0}r \right)^4$$
Или иначе $$s^3=1+\frac{\epsilon_0}{p_0}s^4$$
где $$s=\frac{r_0}r; \quad \epsilon_0=\frac{\varepsilon_0 E_0^2}2$$
Пороговое значение плотности энергии эл. поля достигается тогда, когда производные по параметру $s=r_0/r$ слева и справа
сравниваются при $s=1$, то есть при выполнении равенства $$\frac{\epsilon_0}{p_0}=\frac 34$$
То есть у меня получается так, что определяющим параметром оказывается отношение плотности энергии к давлению жидкости.

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 18:00 
Поскольку наши ответы не совсем совпадают, приведу свое решение. Пусть давление воды $P_0$, давление насышенного пара при данной температуре $P_n$, давление воздуха в пузырьке до и после введение заряда $P_1$ и $P_2$ соответственно. Тогда
$$
P_n+P_1=P_0,\quad P_n+P_2=P_0+P_e
$$
где $$P_e=\frac{q^2}{32\pi^2\varepsilon_0r^4_2}$$ дополнительное давление поля (в СИ, также как и у вас). Вычитая, находим
$$
P_2-P_1=P_e
$$
Далее,
$$
P_1V_1=P_2V_2=\nu RT, \quad V_i=4\pi r_i^3/3.
$$
Из этого уравения находим $P_1$, $P_2$ и подставляем в предудущее выражение. После преобразований, получаем
$$
r^4_2\left(\frac{1}{r_2^3}-\frac{1}{r_1^3}\right)=\frac{q^2}{24\pi\nu\varepsilon_0RT}.
$$

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 18:21 
Аватара пользователя
В реальном пузырьке большую роль играют испарение воды в объём пузырька и растворение воздуха из пузырька в окружающей воде. Впрочем, вряд ли вас это интересует, если вы обсуждаете такие нереалистичные плотности энергии ($1\text{ атм}\times c^2=10^{22}\text{ Дж}/\text{м}^3$ даёт $10^{16}\text{ В}/\text{м}$). При таких полях и пробой воздуха давно наступит...

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 19:20 
Munin, не будьте занудой, это вам не к лицу.

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 20:19 
Всё ему к лицу))..
Я попытался выразить ваш результат через плотность и давление - и, похоже, всё сходится, чуть ли не вплоть до всех коэффициентов! Меня всегда как-то в транс вводят ситуации, на первый взгляд сложные - и вдруг разрешающиеся через какую-нибудь пару параметров. Кроме того, любопытно показалось, что своеобразный коллапс (ну ладно, пусть хотя бы теоретически) может быть в классической области.

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 21:19 
Аватара пользователя
Тогда можно было рассмотреть и просто падение заряженной сферической оболочки на центральный заряд... Кстати, раз вам такая задача нравится, ещё можно найти энергию, излучаемую электромагнитными волнами, и звуковыми. И скорость в конце коллапса.

 
 
 
 Re: Пузырёк.
Сообщение11.05.2011, 22:21 
Видимо, электромагнитного излучения не будет - при условии абсолютной симметрии задачи. Зато звук, конечно, возникнет, наверное типа ударной волны. Но, увы-увы, тут моей грамотности совершенно не достаточно..
Впрочем, нет - мгновенного щелчка может и не произойти. Ведь в таком случае задача уже явно перестаёт быть квазистационарной - это будет приблизительно адиабата с нагревом газа. Видимо, характер процесса определится величиной $\gamma=1+2/i$.
Тут уже надо считать..до некоторого порога $\gamma_0$ шарик, думается, почти мгновенно схлопывается, а после него - будет постепенное сжатие, по мере отдачи тепла в пространство.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group