определенный интеграл

[OcbMuHor]

Так вот к чему я пришел немного покумекав, порешав:
$\[\begin{gathered} t = arctgx,dt = \frac{1}{{1 + {x^2}}}dt \hfill \\ \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\sqrt t dt = \frac{{2{{\sqrt t }^{\frac{3}{2}}}}}{3}\left| \begin{gathered} \sqrt 3 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.} = \frac{{2{{\sqrt {arctg\sqrt 3 } }^{\frac{3}{2}}}}}{3} = \frac{{2{{\sqrt {\frac{\pi }{3}} }^{\frac{3}{2}}}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \]$
сверился, неверно.

[Dan B-Yallay]

При замене переменных меняются и пределы интегрирования. Вам даже показали что куда переходит. И все равно Вы лепите наверху корень вместо тангенса от корня. Поэтому и неправильно.

[ИСН]

Афтар некорректно употребляет маленькие циферки сверху, как бы в каком-то своём смысле, однако при подстановке всё происходит правильно.

[OcbMuHor]

Вот, главное не ругайтесь, а то затрудняет понять сам принцип, если например заменить $\[x = arctgt,\left[ -{\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\]$ то понятно что к чему (в данном примере конечно от 0 до пи\2), а вот наоборот как давайте попытаемся выяснить. Теперь вернемся к пределам отрезка, которые нужно верно ... поменять что ли. Итак, если $\[t = arctgx,dt = \frac{1}{{1 + {x^2}}}dx\]$, то границы сводятся к
$\[t(a,b),t = \left\{ {a,b} \right\}\]$ ?
У меня почему-то не отображается последняя запись
t(a,b) t(x)={a,b}?

[ИСН]

У Вас очень много лишних скобок, но это ладно, а ещё мне совершенно непонятно, что Вы хотите сказать. Кто такие a, b? Зачем это?

-- Ср, 2011-05-11, 15:55 --

"Что он придирается" - можете Вы подумать - "ясно же, что это пределы..."
Ничего не ясно. Скажите словами. Пока не сказали - не ясно!

[OcbMuHor]

$\[\int\limits_a^b {tdt} \]$

[ИСН]

"Это интеграл. А чего добился ты?"
Так, хорошо, а вопрос в чём?

[Joker_vD]

$$\int\limits_a^b t\,dt = \frac12\int\limits_{a^2}^{b^2}du.$$

Замена была $u = t^2$. Угадайте, почему пределы так изменились.

[OcbMuHor]

Joker_vD в сообщении #444709 писал(а):

$$\int\limits_a^b t\,dt = \frac12\int\limits_{a^2}^{b^2}du.$$

Замена была $u = t^2$. Угадайте, почему пределы так изменились.

потому что du поделено на 2

-- Ср май 11, 2011 15:08:46 --

$\[t = arctgx,t1 = arctg0 = 0,t2 = arctg\sqrt 3 = \frac{\pi }{3}\]$ оно?

[OcbMuHor]

Так ладно, поехали по новой.
$\[\begin{gathered} t = arctgx,{x_{\sqrt 3 }} = \sqrt t = \sqrt {arctg\sqrt 3 } = \sqrt {\frac{\pi }{3}} ,{x_0} = \sqrt t = \sqrt {arctg0} = 0 \hfill \\ \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {arctgx} }}{{1 + {x^2}}}} dx = \int\limits_0^{\sqrt {\frac{\pi }{3}} } {\sqrt t dt} = \frac{{2{{\sqrt {arctgx} }^{\frac{3}{2}}}}}{3}\left| \begin{gathered} \sqrt {\frac{\pi }{3}} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{{2{{\sqrt {{\text{0}}{\text{.797}}} }^{\frac{3}{2}}}}}{3} = 0.562 \hfill \\ \end{gathered} \]$
Ответ неправильный, может все таки кто-то без туманных намеков удосужится объяснить что именно не так и как правильно поменять пределы интегрирования. А то пинки давать все мастера, а сказать: "должно быть так, потому что..." корона упадет?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Брр, не используйте \gathered где не надо. $\left. F(x) \right|_a^b$.

[Joker_vD]

$\int\limits_0^{\sqrt 3} \frac{\sqrt\arctg x}{1 + x^2}\, dx$. Делаем замену $t = \arctg x$, получаем интеграл $\int\limits_{a}^{b} \sqrt t \, dt$. Вопрос, который вас так мучает — чему же здесь должны равняться $a$ и $b$. Ответ проще пареной репы: раз $x$ пробегает значения от нуля до корня из трех, то $t = \arctg x$ будет пробегать значения от арктангенса нуля до арктангенса корня из трех. Что тут сложного или непонятного? $a = \arctg 0 = 0,\; b = \arctg\sqrt3$.

$$\int\limits_a^b f(x)\, dx = \int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\, d(t).$$

(Оффтоп)

Здесь имелась чушь, ныне зачищенная

[OcbMuHor]

Joker_vD
Что означает под дифференциалом?
С каких это пор тангенс пи на три не равен трем в степени половины?
Вот что у меня получается и результат не верный.
$\[\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\frac{{\sqrt {arctgx} }}{{1 + {x^2}}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt t dt} = \frac{{2{{\sqrt {arctagx} }^{\frac{3}{2}}}}}{3}\left| \begin{gathered} \frac{\pi }{3} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{{2{{\sqrt {{\text{0}}{\text{.899}}} }^{\frac{3}{2}}}}}{3} = {\text{0}}{\text{.616}}\]$

[Joker_vD]

OcbMuHor в сообщении #444846 писал(а):

С каких это пор тангенс пи на три не равен трем в степени половины?

Извините, неправ.

Результат неверный, потому что вы неправильно интегрируете:

$$\int\limits_0^{\sqrt 3 } \frac{\sqrt\arctg x}{1+x^2}\, dx = \int\limits_0^{\frac\pi3}\sqrt t \, dt = \\ \left. \frac23 t^{\frac32} \right|_0^{\frac\pi3} = \frac23 \left(\frac\pi3\right)^{\frac32} \approx 0{,}7144.$$

Сходится?

OcbMuHor в сообщении #444846 писал(а):

Что означает под дифференциалом?

Пренебрегите, я был в очередной раз неправ. Как бы мне озверевший интеграл не отгрыз ногу...

[OcbMuHor]

ха, свершилось. и ИСНговорил что если пределы поменять то все верно получается, а ведь ошибочка там есть, которую я прошляпил. Я еще в обед эти пределы вычислил и считал, а результат не выходил вона почему. Злостная вышка