Как понять что такое предел?

[Виктор Викторов]

ChaosProcess в сообщении #444204 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444201 писал(а):

А что такое полуокрестность?

Ну я имел ввиду левую или правую(в зависимости от знака) окрестность бесконечности. Наверно неточно выразился в предыдущем посте.

Виктор Викторов в сообщении #443589 писал(а):

Окрестность точки – некое множество, содержащее эту точку. Детали вот здесь topic35991.html Поэтому: нет точки – не существует и её (точки) окрестность.

ChaosProcess в сообщении #444204 писал(а):

И что дает полезного в данном случае непрерывность на $R$?

Непрерывность функции фундаментальное понятие. Например, при непрерывном отображении сохраняется связность и компактность.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #444144 писал(а):

Какие геометрические представления формализует пространство событий?

Это частный случай пространства с мерой, нет?

[ChaosProcess]

Виктор Викторов в сообщении #444205 писал(а):

Окрестность точки – некое множество, содержащее эту точку. Детали вот здесь topic35991.html Поэтому: нет точки – не существует и её (точки) окрестность.

Да правильно. Под, допустим, левой окрестностью плюс бесконечности я понимаю интервал от конкретного числа до плюс бесконечности.(иначе говоря, луч)

-- Вт май 10, 2011 11:36:57 --

Виктор Викторов в сообщении #444205 писал(а):

Например, при непрерывном отображении сохраняется связность и компактность.

Это замечательно. Но как работать с расширенной числовой прямой с точки зрения арифметических операций?

-- Вт май 10, 2011 11:40:51 --

Kallikanzarid в сообщении #444208 писал(а):

Это частный случай пространства с мерой, нет?

Думаю, Joker_vD имел ввиду вероятностное пространство с сигма-алгеброй событий и заданной на ней мерой-вероятностью.

[Joker_vD]

Виктор Викторов упорно не хочет иметь "окрестность", которая не будет являться окрестностью какой-то точки. Ну не нравится ему такое "несобственное" рассмотрение — когда слово есть, а, хм, точки нет.

Виктор Викторов в сообщении #444205 писал(а):

Непрерывность функции фундаментальное понятие. Например, при непрерывном отображении сохраняется связность и компактность.

Здорово! Но нас-то не интересует поведение $f(x) = \frac{1}{|x|}$ на $\overline{\mathbb R}$. Нас интересует ее поведение на $\mathbb R$. А там она, как никрути, разрывна в нуле, и как бы вы ее там ни доопределили числом $A$, она переведет связный отрезок $[-\frac{1}{2A};\frac{1}{2A}]$ в несвязное множество $\{A\} \cup [2A;+\infty)$

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #444271 писал(а):

Виктор Викторов упорно не хочет иметь "окрестность", которая не будет являться окрестностью какой-то точки. Ну не нравится ему такое "несобственное" рассмотрение — когда слово есть, а, хм, точки нет.

Определена только окрестность точки, окрестность "вообще" не определена. Вы можете рассматривать фильтры или сети вида, нужного для определения предела на бесконечности, но окрестностями бесконечности в том смысле, в котором говорят про окрестность точки, вы их называть не имеете права.

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444283 писал(а):

но окрестностями бесконечности в том смысле, в котором говорят про окрестность точки, вы их называть не имеете права.

А "проколотой окрестностью" я имею право ее назвать или нет?

[Kallikanzarid]

Не-а :)

[Виктор Викторов]

ChaosProcess в сообщении #444261 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444205 писал(а):

Окрестность точки – некое множество, содержащее эту точку. Детали вот здесь topic35991.html Поэтому: нет точки – не существует и её (точки) окрестность.

Да правильно. Под, допустим, левой окрестностью плюс бесконечности я понимаю интервал от конкретного числа до плюс бесконечности.(иначе говоря, луч)

Я уже ответил по этому поводу. Тут ещё и русский язык всё-таки требует прямого дополнения: окрестность – она окрестность чего-то.

(Оффтоп)

Но особенно меня позабавил термин «полуокрестность». Повеяло ныне забытым писателем прошлого века Константином Паустовским. У него в «Северной повести» был герой за маленький рост прозванный Полувитя.

ChaosProcess в сообщении #444261 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #444205 писал(а):

Например, при непрерывном отображении сохраняется связность и компактность.

Это замечательно. Но как работать с расширенной числовой прямой с точки зрения арифметических операций?

Вводятся арифметические операции. Не без потерь, но вводятся. Но ведь и на ноль делить нельзя. Однако выживаем как-то.

-- Вт май 10, 2011 07:30:57 --

Joker_vD в сообщении #444271 писал(а):

Но нас-то не интересует поведение $f(x) = \frac{1}{|x|}$ на $\overline{\mathbb R}$.

Одних не интересует, а других так даже очень интересует.

[ChaosProcess]

Виктор Викторов в сообщении #444309 писал(а):

Но особенно меня позабавил термин «полуокрестность». Повеяло ныне забытым писателем прошлого века Константином Паустовским. У него в «Северной повести» был герой за маленький рост прозванный Полувитя

Ну у меня просто язык кривой.

(Оффтоп)

Паустовский не забыт, даже в школе его проходят.

[Munin]

Кстати, я вот подумал и понял, что дополнять числовую прямую двумя бесконечностями - по сути ни для чего не нужно. Достаточно одной бесконечности, а стремление "строго в плюс" или "строго в минус" - это стремление к ней с какой-то стороны, точно так же как к любой конечной точке можно приближаться сверху и снизу. То есть $+\infty\equiv\infty-0,$ $-\infty\equiv\infty+0$ (в смысле не арифметических операций, а символов пределов).

Традиция говорить о двух бесконечностях - это пережиток проективной геометрии, которая в анализе ни к селу, ни к городу. Анализ должен образовывать более тесное единство с комплексным анализом, а в нём бесконечная точка одна (разные направления на бесконечность также аналогичны разным направлениям приближения к конечной точке).

Обнаружить, что функция или последовательность имеет бесконечный предел с конкретным знаком - приятно, но не важно, и мне кажется, именно с таким акцентом это и надо давать студентам.

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444303 писал(а):

Не-а :)

Хоть убей не пойму, почему. Берем $\overline{\mathbb R}$, в нем проколотую окрестность бесконечности, обнаруживаем, что она целиком лежит в $\mathbb R$. Почему я не могу протащить этот термин в $\mathbb R$?

[Kallikanzarid]

ChaosProcess в сообщении #444261 писал(а):

Это замечательно. Но как работать с расширенной числовой прямой с точки зрения арифметических операций?

Никак.

-- Вт май 10, 2011 22:05:10 --

Joker_vD в сообщении #444392 писал(а):

Хоть убей не пойму, почему. Берем $\overline{\mathbb R}$, в нем проколотую окрестность бесконечности, обнаруживаем, что она целиком лежит в $\mathbb R$. Почему я не могу протащить этот термин в $\mathbb R$?

Можете, только:
1) Зачем?
2) Нужно оговориться, что окрестностью в топологическом смысле она не будет.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin, ого! :-)

Кстати, а в проективной прямой же тоже одна бесконечность. У проективной плоскости вот много, но они тоже ведь по одной на все параллельные прямые! Получается как-то гладко.

-- Вт май 10, 2011 21:30:03 --

Kallikanzarid в сообщении #444402 писал(а):

2) Нужно оговориться, что окрестностью в топологическом смысле она не будет.

А если взять только одну бесконечность как в проективной прямой?

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444402 писал(а):

1) Зачем?

Чтобы унифицировать четыре разных определения предела (в точке и в трех бесконечностях) в одно.

Kallikanzarid в сообщении #444402 писал(а):

2) Нужно оговориться, что окрестностью в топологическом смысле она не будет.

Окрестностью именно бесконечности как точки, она, конечно, не будет. Ну и шут с ним. Зато $(a;+\infty)$ является окрестностью точки $2a$

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #444375 писал(а):

Традиция говорить о двух бесконечностях - это пережиток проективной геометрии

Вообще в $\mathbb{R}P^1$ как раз одна точка на бесконечности, и именно с одной точкой на бесконечности работает, например, Кудрявцев.

Joker_vD в сообщении #444412 писал(а):

Чтобы унифицировать четыре разных определения предела (в точке и в трех бесконечностях) в одно.

Просто взять одноточечную компактификацию числовой прямой религия не позволяет?