уравнение касательной плоскости, параллельной данной прямой

[EvilOrange]

Доброго время суток.
Текст задания:
"Написать уравнение касательной плоскости к поверхности, проходящей через точку M и параллельной данной прямой.
Поверхность задана уравнением: $x^2-y^2=3z$, точка M (0;0;-1), прямая $x=2y=z$"
Первая мысль посчитать частные производные и записать по формуле:
Перетащим 3z налево получаем уравнение: $x^2-y^2-3z=0$
Частные производные по x,y,z равны :2x,-2y,-3 соответственно.
В точке (0;0;-1) Уравнение касательной плоскости тогда примет вид:
$-3(z+1)=0$.
Заодно уравнение нормали запишу:
$ \frac {x} {0}+\frac {y} {0}+ \frac {z+1} {-3} = 0 $

Теперь вопрос: как сделать так, чтобы плоскость была параллельна прямой?
Единственная мысль - вектор нормали плоскости (0;0;-3) должен быть ортогонален направляющему вектору прямой (1;1/2;1)
Но вот что делать дальше?

[Sonic86]

EvilOrange в сообщении #443827 писал(а):

Частные производные по $x,y,z$ равны $(2x,-2y,-3)$ соответственно.В точке $(0;0;-1)$ Уравнение касательной плоскости тогда примет вид: $-3(z+1)=0$.

Это Вы вычислили значения частных производных в точке $M$, и из полученного вектора нормали составили уравнение плоскости? Если да, то это как раз и неверно. Уравнение надо составлять в общем виде

(вот если бы был параболоид и точка находилась под вершиной, то видно, что плоскость имеет 1 степень свободы)

[EvilOrange]

Уравнение в общем виде - это как?
Мой ход размышлений:
Уравнение касательной плоскости в точке имеет вид:
$ F' _x (x_0;y_0;z_0) (x - x_0 ) + F' _y (x_0;y_0;z_0) (y - y_0 ) +F' _z (x_0;y_0;z_0) (z - z_0 ) = 0 $
$ F' _x $ и $ F' _y $ в точке $(0;0;-1)$ равны нулю и зануляют первые два слагаемые. $F'_z=-3$, поэтому и получается $ -3 (z + 1) = 0 $

P.S. А что такое степени свободы?..

[Sonic86]

EvilOrange писал(а):

$ F' _x $ и $ F' _y $ в точке $(0;0;-1)$ равны нулю

А зачем Вам частные производные в точке $M$. Вам нужны частные производные в точке касания.

EvilOrange писал(а):

P.S. А что такое степени свободы?..

Ну я условно выразился. Вообразите себе параболоид и к нему проведите из $M$ касательную плоскость. Представили? Так вот, это плоскость можно вокруг параболоида повращать, т.е. плоскости будет столько же, сколько и углов $\varphi \in [0; 2 \pi)$. Т.е. у Вас должна быть такая же ситуация - можно провести бесконечно много касательных плоскостей.

[EvilOrange]

Ага, понятно со степенями свободы.
И я думал, что точка $M$ - это и есть точка касания... Нет?

[Sonic86]

Цитата:

И я думал, что точка $M$ - это и есть точка касания... Нет?

Нет, с чего вдруг. Просто какая-то точка, но через нее проходит плоскость

[EvilOrange]

Хм... Сейчас тогда подумаю. Т.е. первым шагом нужно найти как раз координаты $x_0,y_0,z_0$ ?

[Sonic86]

EvilOrange писал(а):

Хм... Сейчас тогда подумаю. Т.е. первым шагом нужно найти как раз координаты $x_0,y_0,z_0$ ?

По-моему, не получится. Надо записать уравнение касательной плоскости через $x_0, y_0, z_0$, а затем находить $x_0,y_0,z_0$ из оставшихся двух условий, а дальше видно будет.

[svv]

Вот такое задание:

Цитата:

Дана точка $M$, прямая $\alpha$, поверхность $P$. Построить плоскость, проходящую через $M$, параллельную $\alpha$ и касательную к $P$.

-- в общем случае решения не имеет. В общем случае эти условия несовместны -- их слишком много. Если прямая $\beta$, проходящая через $M$ и параллельная $\alpha$, "протыкает" поверхность $P$, а не касается её, решений нет. Поэтому общую формулу для такой задачи искать бесполезно. Но в нашем случае условия подобраны так, что всё в порядке (задача-то учебная ).

Прямую $\alpha$ представим в параметрическом виде:
$x=2t$, $y=t$, $z=2t$.
Прямую $\beta$, проходящую через $M$ и параллельную $\alpha$, тоже представим в параметрическом виде:
$x=2t$, $y=t$, $z=2t-1$

Подставляя эти выражения в уравнение поверхности, найдем значение параметра $t$ в точке $C$ пересечения $\beta$ и $P$:
$(2t)^2-t^2=3\cdot(2t-1)$, откуда $t=1$, и координаты точки $C$ равны $(2, 1, 1)$.
Можно показать, что на самом деле точка "пересечения" $C$ -- это точка касания прямой $\beta$ и параболоида $P$. Это и есть заготовленный заранее составителями "парашют".

Остается найти плоскость, касательную к параболоиду в точке $C$. Понятно, в ней будет лежать касательная прямая $\beta$, также проходящая через $C(2, 1, 1)$ и параллельная $\alpha$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

А я думал, учебные задачи нельзя решать
А вообще прикольно. Так проще решать. Надо запомнить...

[svv]

(Оффтоп)

Дык, а где решение? Если отбросить "лирику", что там останется-то -- три с половиной формулы...

[Sonic86]

(Оффтоп)

а, ну наверное надо подумать....

[svv]

(Оффтоп)

Ну, и слова "можно показать", "остаётся найти" как бы оставляют что-то и на долю автора темы.

[EvilOrange]

svv
Спасибо, но почему именно $x=2t$, $y=t$, $z=2t$ у прямой $\alpha$ ?.. Откуда числа 2,1,2 взялись? и у прямой $\beta$ тоже все координаты?..

[TOTAL]

EvilOrange в сообщении #444245 писал(а):

почему именно $x=2t$, $y=t$, $z=2t$ у прямой $\alpha$ ?.. Откуда числа 2,1,2 взялись?

Не обязательно такие. Подойдут любые, лишь бы удовлетворяли уравнению прямой $x=2y=z$