Вот такое задание:
Цитата:
Дана точка

, прямая

, поверхность

. Построить плоскость, проходящую через

, параллельную

и касательную к

.
-- в общем случае решения не имеет. В общем случае эти условия несовместны -- их слишком много. Если прямая

, проходящая через

и параллельная

, "протыкает" поверхность

, а не касается её, решений нет. Поэтому общую формулу для такой задачи искать бесполезно. Но в нашем случае условия подобраны так, что всё в порядке (задача-то учебная

).
Прямую

представим в параметрическом виде:

,

,

.
Прямую

, проходящую через

и параллельную

, тоже представим в параметрическом виде:

,

,

Подставляя эти выражения в уравнение поверхности, найдем значение параметра

в точке

пересечения

и

:

, откуда

, и координаты точки

равны

.
Можно показать, что на самом деле точка "пересечения"

-- это точка
касания прямой

и параболоида

. Это и есть заготовленный заранее составителями "парашют".
Остается найти плоскость, касательную к параболоиду в точке

. Понятно, в ней будет лежать касательная прямая

, также проходящая через

и параллельная

.