Двойной интеграл

[compaurum]

Определить двойной интеграл и проверить полученный результат изменив порядок интегрирования. Область $D$ ограничена указанными линиями.
$\intop\limits_D \int y^2 e^{\frac{-xy}4}dxdy$ $y=2,x=0,x=y$
$\int \limits_a^b dx \int \limits_c^d y^2 e^{\frac{-xy}4}dy$
Точки пересечения функции с прямыми: $(2;2),(0;0)$Не могу понять какие границы интегрирования нужно ставить.

[Dan B-Yallay]

Область интегрирования представляете?

[compaurum]

Да. Треугольник с вершинами $(0;0),(0;2),(2;2)$

[ИСН]

Так. Ну и откуда докуда надо пройти по x, чтобы его закрасить?

-- Пн, 2011-05-09, 15:00 --

(если, для начала, интеграл по x - внешний из двух.)

[gris]

Из книжки "Интегрирование в картинках"

[compaurum]

$\int \limits_0^2 dx \int \limits_0^2 y^2 e^{\frac{-xy}4}dy=\frac{32}e-8$

[Dan B-Yallay]

А на приведенных картинках очевидно, что у начинается не с нуля... или х заканчиваетя не на двойке.

[ИСН]

compaurum, а как, по-Вашему, будет выглядеть интеграл по другой области - по квадрату? Ну, такому, где 0<x<2 и y тоже?

[compaurum]

Так же?..... Может тогда $\int \limits_0^2 dx \int \limits_x^2 y^2 e^{\frac{-xy}4}dy$?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

$y$ начинается не с нуля

[compaurum]

исправил

[Dan B-Yallay]

Это другое дело. Теперь правильно.

[compaurum]

спс.
Тут еще одна задачка вычислить двойной интеграл путем перехода к полярным координатам.
$\iint \limits_D \sqrt {\frac {1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}dxdy$.
$D : x^2+y^2\leq1, x\geq0, y\geq0$
Область интегрирования - часть круга, которая лежит в первом секторе.
переходим к полярным координатам заменой $x=\rho \cos \phi , y=\rho \sin \phi$
$x^2+y^2 \leq 1\Leftrightarrow \rho \leq1$ то есть $0\leq\rho\leq1$
Так как область находится в первой чверти, то $0\leq \phi \leq \frac\pi2 $
И теперь вопрос как расписать интеграл? Может так:
$\int \limits_0^{\frac\pi2}d\phi \int\limits_0^1\sqrt {\frac{1-\rho^2}{1+\rho^2}}d\rho$ ?

[Dan B-Yallay]

- откуда получилась двойка при $\rho^2$?
- Якобиан перехода к полярным координатам где?

[compaurum]

- придумал двойку . убрал
- якобиан? А зачем он нужен и с чем его едят?

Неправильно получилось?