Сумма ряда от 1 до бесконечности

[Vlad1992]

нужно найти сумму ряда от 1 до бесконечности $ \frac{((3 - \sqrt{5})/2)^n}{n^3}}$
не могу понять как решать, был бы очень благодарен за помощь, ряд сходится по признаку коши, а вот какова сумма...

[ИСН]

Уж не думаете ли Вы, что это проще, чем дзета от трёх записать его в нормальном виде?

[Vlad1992]

то что в знаменателе дзета от 3 я знаю, но как я понимаю аналитически она вообще не считается, если вы говорите про то что формула набрата не с помощью кода, прощу прощения, я на этом форуме первый раз и не разобрался как вводить понормальному...еще раз извените

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

-- 08 май 2011, 14:41 --

Возвращено. $ \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(3 - \sqrt{5})^n}{2^n n^3}}$

[Sonic86]

Vlad1992, к Вашему сведению, дзета-функция от нечетных чисел больших 1, на сегодняшний день неизвестно через что выражается (если выражается). Лишь недавно Апери было доказано, что $\zeta (3)$ - иррациональное число.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 1%80%D0%B8

[Vlad1992]

ну я это знаю, и статью я читал....но как такой ряд то считать....видимо в ответе должна эта дзета функция остаться...

[nnosipov]

Vlad1992 в сообщении #443513 писал(а):

ну я это знаю, и статью я читал....но как такой ряд то считать....видимо в ответе должна эта дзета функция остаться...

Действительно, ответ таков$4/5\,\zeta \left( 3 \right) +1/15\,{\pi }^{2}\ln \left( 3/2-1/2\, \sqrt {5} \right) -1/12\, \left( \ln \left( 3/2-1/2\,\sqrt {5} \right) \right) ^{3} $ (это Maple). Вот похожий пример, но попроще:

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{(\sqrt{2}-1)^{2k+1}}{(2k+1)^2}. $$

Имеет смысл посмотреть http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm

[Vlad1992]

ответ я тоже получал в вольфраме...но как его получить решение?

[venco]

Подставить вместо скобки в числителе $x$ и дифференцировать несколько раз.
Разбить результат на несколько более простых рядов и, при необходимости, дифференцировать ещё.

[nnosipov]

venco в сообщении #443584 писал(а):

Подставить вместо скобки в числителе $x$ и дифференцировать несколько раз.
Разбить результат на несколько более простых рядов и, при необходимости, дифференцировать ещё.

А Вас не смущает то, что $x$ очень специфический (полагаю, вряд ли можно взять здесь произвольную квадратичную иррациональность)?

[Sonic86]

venco в сообщении #443584 писал(а):

Подставить вместо скобки в числителе $x$ и дифференцировать несколько раз.
Разбить результат на несколько более простых рядов и, при необходимости, дифференцировать ещё.

Угу, я там застрял на уравнении $f'(x) = - \frac{1}{x} \int \frac{\ln (1-x)}{x}dx$

[nnosipov]

Здесь, скорее всего, нужно смотреть всякие тождества с ди- и полилогарифмами.

[Vlad1992]

согласен, но в интернете почти ничего нет по данной теме...

[nnosipov]

Vlad1992 в сообщении #443599 писал(а):

согласен, но в интернете почти ничего нет по данной теме...

Как же нет? А в wiki куча ссылок? Надо искать.

[Vlad1992]

получается у меня полилогорифм от того что в скобках с индексом 3, но это опять же только в вольфрам вводить...как это нормально считать я не знаю....