Дейстие точечной частицы со спином в классике.

[VladTK]

У меня возник интерес к рассмотрению частицы со спином в релятивисткой механике. Т.е. пусть у нас есть точечная частица массы $m$ и вектором спина $\vec{S}$ В отсутствии спина, функционал действия такой частицы имеет хорошо известный вид

$$ I=-mc \int ds $$

Меня интересует, как изменит функционал действия добавка вектора спина? Где можно почитать о таком действии?

[obar]

Для свободной частицы никак не изменит, ведь спин ни с чем не взаимодействует. Если же вас интересует ковариантное обобщение прецессии спина

$$ \frac{d\vec{S}}{dt}=\frac{ge}{2m}[\vec{S}\times\vec{B}], $$

то соответствующее уравнение ищется в виде

$$ \frac{dS^{\mu}}{d\tau}=\frac{ge}{2m}F^{\mu\nu}S_{\nu}+ap^{\mu}, $$

где $S^{\mu}$ - 4-вектор спина, который в системе покоя равен $S^{\mu}=(0,\vec{S})$. Величина $a$ (скаляр) находится из условия

$$ \frac{d}{d\tau}(p_{\mu}S^{\mu})=p_{\mu}\frac{dS^{\mu}}{d\tau}+S_{\mu}\frac{dp^{\mu}}{d\tau}=0, $$

где

$$ \frac{dp^{\mu}}{d\tau}={e}F^{\mu\nu}v_{\nu} $$

и учтено, что $S^{\mu}p_{\mu}=0$.

[VladTK]

Внешнее поле меня не интересует - его можно не рассматривать.

Означает ли утверждение "спин ни с чем не взаимодействует", что тензор энергии-импульса точечной частицы со спином совпадает с таковым для частицы без спина?

[obar]

VladTK в сообщении #443039 писал(а):

Означает ли утверждение "спин ни с чем не взаимодействует", что тензор энергии-импульса точечной частицы со спином совпадает с таковым для частицы без спина?

При чем здесь ТЭИ? Вас интересует действие для свободной частице в СТО или в ОТО?

[VladTK]

ТЭИ меня интересует еще больше чем действие :) В СТО или ОТО - какая разница? Впрочем интересует ТЭИ в произвольных координатах конечно.

[obar]

Насколько я помню, подобные вопросы обсуждаются в книге
С. Вейнберг "Гравитация и космология".

[Munin]

А в каком именно месте?

[obar]

Munin в сообщении #443294 писал(а):

А в каком именно месте?

У меня не настолько хорошая память, чтобы памнить номера страниц. Где-то в начале есть отдельные параграфы про ТЭИ точечной частицы и спин.

[VladTK]

В Вайнберге это параграф 9 главы 2 "Спин" и параграф 1 главы 5 "Механика частицы". Вроде как из изложения Вайнберга следует, что ТЭИ частицы со спином и без спина не отличаются.

У меня просто появилась такая мысль. Добавим компоненты вектора спина в обобщенные координаты частицы, т.е. к ее 4-вектору положения $x^{\mu}$. Тогда функционал действия можно обобщить например так

$$ I=-mc\int \left [ 1+a (S_{\mu} u^{\mu})^2 \right ] ds $$

где $S_{\mu}$ - 4-вектор спина, а $u^{\mu}$ -4-скорость частицы, $a$ - некоторая константа.

Вариация по спину ведет к уравнению

$$ S_{\mu} u^{\mu}=0 $$

а вариация по координате к

$$ \frac{d}{ds} \left \{ \left [ 1-a (S_{\mu} u^{\mu})^2 \right ] \eta_{\alpha \sigma} u^{\sigma} +2a S_{\alpha} (S_{\sigma} u^{\sigma}) \right \} - \frac{1}{2} \left [ 1-a (S_{\mu} u^{\mu})^2 \right ] \frac{\partial \eta_{\sigma \beta}}{\partial x^{\alpha}} u^{\sigma} u^{\beta}=0 $$

Эта система очевидно эквивалентна обычным уравнениям движения точечной частицы

$$ \frac{d}{ds} \left \{ \eta_{\alpha \sigma} u^{\sigma} \right \} - \frac{1}{2} \frac{\partial \eta_{\sigma \beta}}{\partial x^{\alpha}} u^{\sigma} u^{\beta}=0 $$

Насколько жизнеспособна такая конструкция?

[obar]

VladTK в сообщении #443314 писал(а):

Вроде как из изложения Вайнберга следует, что ТЭИ частицы со спином и без спина не отличаются.

Должны отличаться. Тензор углового момента строится из ТЭИ. Для ТЭИ точечной частицы по Вайнбергу - спин ноль (хотя бы потому, что нет дополнительного параметра для спина). Вы же хотите не нулевое значение. Значит нужны обобщения.

VladTK в сообщении #443314 писал(а):

Насколько жизнеспособна такая конструкция?

Было бы интересно, если бы из действия можно было получить уравнения для прецессии спина в грав.поле (или в любом другом внешнем поле). А для свободной частицы в пространства Минковского это не интересно.

[VladTK]

obar в сообщении #443318 писал(а):

Должны отличаться. Тензор углового момента строится из ТЭИ. Для ТЭИ точечной частицы по Вайнбергу - спин ноль (хотя бы потому, что нет дополнительного параметра для спина). Вы же хотите не нулевое значение. Значит нужны обобщения.

Согласен. Вот я и попытался...

obar в сообщении #443318 писал(а):

Было бы интересно, если бы из действия можно было получить уравнения для прецессии спина в грав.поле (или в любом другом внешнем поле). А для свободной частицы в пространства Минковского это не интересно.

Так из моей попытки почти удается получить уравнения для прецессии спина. Из $S_{\mu} u^{\mu}=0$ следует

$$ \frac{d}{ds} (S_{\mu} u^{\mu})=\frac{d S_{\mu}}{ds} u^{\mu} + \frac{d u^{\mu}}{ds} S_{\mu}=0 $$

Подставляем сюда уравнения для 4-скорости

$$ \frac{d u^{\mu}}{ds}+\Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} u^{\alpha} u^{\beta}=0 $$

и получаем

$$ u^{\mu} \left ( \frac{d S_{\mu}}{ds} - \Gamma^{\alpha}_{\mu \beta} u^{\beta} S_{\alpha} \right )=0 $$

Остается доказать, что нулю равна именно скобка...

[obar]

VladTK в сообщении #443331 писал(а):

Остается доказать, что нулю равна именно скобка...

А она и не равна нулю. Иначе бы Вы пришли к противоречию с уравнением $S_{\mu}S^{\mu}=const$. Или это дополнительная связь?

[VladTK]

Скобка для свободной частицы равна нулю. У Вайнберга это уравнение (5.1.8). А в противоречие с уравнение $S_{\mu} S^{\mu}=const$ мы не только не вступаем, но и наоборот - это уравнение есть следствие равенства скобки нулю. Ведь эту скобку можно переписать в виде

$$ \frac{D S_{\mu}}{Ds}=0 $$

А уже отсюда следует

$$ \frac{D}{Ds} (S_{\mu} S^{\mu})=0 $$

Все - понял! Доказательство элементарно. Из $S_{\mu} u^{\mu}=0$ следует

$$ \frac{D}{Ds} (S_{\mu} u^{\mu}) = \frac{D S_{\mu}}{Ds} u^{\mu}+\frac{D u^{\mu}}{Ds} S_{\mu}=0 $$

Поскольку выполнены уравнения движения

$$ \frac{D u^{\mu}}{Ds}=0 $$

и $u^{\mu} \ne 0$ отсюда немедлено следует

$$ \frac{D S_{\mu}}{Ds}=0 $$

Вот Вам и уравнение прецессии спина свободной частицы в пространстве-времени. Значит обобщение полезно...

[obar]

Чем уравнение $\frac{DS_{\mu}}{ds}u^{\mu}$ отличается от вашего прежнего уравнения - ничем. Вы просто переписали его в других обозначениях. Из него следует лишь ортогональность $DS_{\mu}$ к 4-скорости. Но тогда получается, что вектор $DS_{\mu}$ ортогонален и $S^{\mu}$ и $u^{\mu}$, т.е. должен быть одновременно и времениподобным и пространственноподобным, а значит нулевым.

[VladTK]

Да, верно - поторопился. Но Вы тоже неправы. У нас же не эвклидово пространство-время, а псевдоэвклидово. Так, что вектор, не являющийся ни времениподобным, ни пространственноподобным, является не нулевым, а изотропным вектором.