Диофантовое уравнение

[brendao]

1. Решите уравнение 7x-4y=17 в целых числах. Мой набросок:

Знаю, что если Н.О.Д.(X;Y) =1, т.е. X и Y взаимно-простые числа, то уравнение имеет решение в целых числах >>> х и у. Н.О.Д.(7;4) =1. Методом подбора нахожу частное решение: x=7; у=8

Итак, пара чисел (7;8) - частное решение уравнения.
Значит, выполняется равенство: 7*7 – 8*4 =17

Как имея одно решение записать все остальные решения, т.к их тут много (3 и 1, к примеру еще)?

[ИСН]

А как, имея одно решение уравнения $\sin x=1$, записать все остальные? Вот и тут примерно так же.

[brendao]

Т.е так?

7(х -7) – 4(у - 8) =0
>>>>
$x-7= \frac {4*(y-8)} {7}$

-- Сб май 07, 2011 16:57:37 --

у = 8 + 7n, х = 7 + 7n, где n { Z

Все целые решения:

\{x=7 + 7n \\ y= 8 + 7n}

??

[Sonic86]

Хм, прикольно, можно и так. Только $x-7=4n$ и научитесь формулы набирать в конце-концов.
topic183.html
А то я подсказывать не буду.

[VAL]

brendao в сообщении #443029 писал(а):

1. Решите уравнение 7x-4y=17 в целых числах. Мой набросок:
Знаю, что если Н.О.Д.(X;Y) =1, т.е. X и Y взаимно-простые числа, то уравнение имеет решение в целых числах

Эта фраза напомнила мне "исследование" линейного уравнения $ax=b$, свидетелем коего я был лично:

Данное уравнение имеет единственное решение, когда $a=0$, имеет бесконечно много решений, когда $a$ и $b$ - любые числа, и (внимание!) не имеет решений при $x=0$.

Впрочем, возможно, я зря привел свой пример. Не исключено, что X и Y - это не подросшие x и y, а коэффициенты при них.

[Leox]

brendao в сообщении #443029 писал(а):

1. Решите уравнение 7x-4y=17 в целых числах. Мой набросок:

Знаю, что если Н.О.Д.(X;Y) =1, т.е. X и Y взаимно-простые числа, то уравнение имеет решение в целых числах >>> х и у. Н.О.Д.(7;4) =1. Методом подбора нахожу частное решение: x=7; у=8

Итак, пара чисел (7;8) - частное решение уравнения.
Значит, выполняется равенство: 7*7 – 8*4 =17

Как имея одно решение записать все остальные решения, т.к их тут много (3 и 1, к примеру еще)?

общее решение имеет вид $y=y_{\text{ч}}+y_{\text{o}}$ где $y_{\text{ч}}$ -- какое нибудь частное решение а $y_{\text{o}}$ - общее решение однородного уравнения 7x-4y=0.
Частное решение уже подобрано $- (7,8)$ а общее однородного также просто находится: $(4n,7n).$ Поетому общее решение $(7,8)+(4n,7n)=(7+4n,8+7n),$ $n \in \mathnn{Z}.$

[Батороев]

На мой взгляд, надо отталкиваться от наименьших значений $x;y$:

$7\cdot 3-4\cdot 1=17$
$ab-cd=e$

Далее:
$7(3 \pm 4n)-4(1\pm 7n)=17$
$a(b\pm cn)-c(d\pm an)=e$