Задачки по аффинным пространствам

[arseniiv]

А, понятно! Я такую тоже скрещивающейся называл, но не знаю, выделяют ли такой случай обычно.

[caxap]

2.2. Доказать, что произведение гомотетий с центрами в разных точках с коэффициентами $\lambda$ и $\mu$ при $\lambda\mu\neq 1$ есть гомотетия, а при $\lambda\mu=1$ -- нетривиальный параллельный перенос.

Пусть $f$ -- гомотетия с центром $p$ и коэф. $\lambda$, а $g$ -- с центром $q$ и коэф. $\mu$, т. е. $f(p+\vec x)=p+\lambda \vec x$, $g(q+\vec x)=q+\mu\vec x$. Я расписываю:

$$fg(a)=fg(q+\overrightarrow{qa})=f(q+\mu\, \overrightarrow {qa})=f(p+\overrightarrow {pq}+\mu\,\overrightarrow{qa})=p+\lambda \,\overrightarrow {pq}+\lambda\mu\,\overrightarrow{qa}\,.$$

Надо привести это к виду $fg(o+\vec x)=o+\nu\vec x$, тогда это будет гомотетия с центром $o$ и коэффициентом $\nu$. Но что-то не получается

Подскажите, пожалуйста.

[ewert]

$f(g(\vec r+\vec x))=f(g(\vec q+(\vec r-\vec q+\vec x)))=f(\vec q+\mu(\vec r-\vec q+\vec x))=$

$=f(\vec p+(\veq q-\vec p+\mu(\vec r-\vec q+\vec x)))=\vec p+\lambda(\vec q-\vec p)+\lambda\mu(\vec r-\vec q)+\lambda\mu\vec x.$

Требуем $\vec r=\vec p+\lambda(\vec q-\vec p)+\lambda\mu(\vec r-\vec q)$, и при $\lambda\mu \neq1$ необходимое $\vec r$, естественно, находим.

[caxap]

Спасибо. Только немножко смутили у вас стрелочки везде. У нас же аффинное пространство, а гомотетия -- это аффинное преобразование, то есть отображает точки в точки, а не векторы в векторы.

У меня получилось
$r=p+\lambda\, \overrightarrow{pq}+\lambda \mu\,\overrightarrow{qr}$, но чтобы выразить $r$ (числа на точки умножать нельзя), пришлось искуственно вводить начало отсчёта $o$, тогда
$\overrightarrow{or}=\dfrac{1}{1-\lambda\mu}(\overrightarrow{op}+\lambda\mu \,\overrightarrow{oq}+\lambda\,\overrightarrow{pq})$.

При $\lambda\mu=1$:
$fg(r)=p+\lambda\,\overrightarrow{pq}+\overrightarrow{qr}=r+(\lambda-1)\,\overrightarrow{pq}$ -- параллельный перенос. Если $\lambda\neq 1$, то нетривиальный.

[caxap]

2.5. Как изменяется простое отношение тройки точек при перестановке этих точек. Какое наибольшее и наименьшее число различных значений оно может принимать?

Первая часть лёгкая, но можно запутаться. У меня получилось (простое отношение тройки точек $p,q,r$ я обозначил как $\operatorname{rat}(p,q,r)$):
$\operatorname{rat}(p,q,r)=:c$ (т. е. $\overrightarrow{pq}=c\cdot\overrightarrow{qr}$)
$\operatorname{rat}(q,p,r)=\dfrac{-c}{c+1}$
$\operatorname{rat}(p,r,q)=-1-c$
$\operatorname{rat}(r,p,q)=\dfrac{1+c}{c}$
$\operatorname{rat}(r,q,p)=\dfrac{-2c-1}{c}$
$\operatorname{rat}(q,r,p)=\dfrac{-1}{c+1}$

Наибольшее число различных значений 6. А вот с наименьшим я не уверен: по-моему, 4 и достигается при $c=\text{золотое сечение}$. Ещё проблемка: я рассматривал поле $\mathbb R$, но в задаче про поле ничего не сказано (произвольно?). Если взять, скажем $\mathbb Z_2$, то не все отношения определены (из любых трёх точек, лежащих на прямой, две равны, а значит при подсчёте какого-то отношения будет деление на 0).

[caxap]

Последнюю задачу снимаю.

4.1. Доказать, что расстояние между плоскостями $P_1=p_1+U_1$, $P_2=p_2+U_2$ ($p_i$ -- точки, $U_i$ -- направляющие подпространства) евклидова афф. пространства может быть найдено как $|\operatorname{ort}_{U_1+U_2}\overrightarrow{p_1 p_2}|$ (ортогональная составляющая вектора относительно суммы подпространств $U_1$ и $U_2$).

Я знаю, что расстояние от некоторой точки $q$ до некоторой плоскости $P=p+U$ равно $|\operatorname{ort}_{U}\overrightarrow{pq}|$. Чтобы найти расстояние между плоскостями $P_1,P_2$ нужно взять инфимум от всех расстояний между точками из $P_1$ и плоскостью $P_2$. Но привести это к тому выражению, что требуется, не получается. Как вообще прийти к сумме подпространств?

[caxap]

4.6. Описать группу $\rm O_{1,1}$ (преобразования, сохраняющие расстояние, в псевдоевклидовом векторном пространстве сигнатуры $(1,1)$) используя систему координат, в которой соответствующая квадратичная функция имеет вид $(\vec x|\vec x)=x_1x_2$ (тут $(\cdot|\cdot)$ -- скалярное произведение).

Пусть $e=(\vec e_1,\vec e_2)$ -- данный базис. Пусть $f\in\rm O_{1,1}$, т. е. $(f\vec x|f\vec y)=(\vec x|\vec y)$. Пусть $A=(a_{ij})$ -- матрица $f$ в базисе $e$. Тогда
$(\vec e_1|\vec e_1)=\frac 12=a_{11} a_{12}$
$(\vec e_2|\vec e_2)=\frac 12=a_{21} a_{22}$
$(\vec e_1|\vec e_2)=0=a_{12} a_{21}+a_{11} a_{22}$

Из 1-го и 2-го уравнения следует, что $a_{ij}\neq 0$. Обозначим $a_{11}=:t$. Тогда $a_{12}=\dfrac 1{2t}$, $a_{22}=\pm\dfrac{i}{2t}$, $a_{21}=\mp i\,t$.

Проблема 1. Псевдоевклидово пространство вещественно, в нём нет $i$. Как тогда быть?

Ладно, пока закроем глаза. Найдём значение $f$ на векторе $(x_1,x_2)^\top$ (базис $e$). $A(x_1,x_2)^\top=(tx_1+\dfrac{x_2}{2t}, \mp i\,tx_1\pm\dfrac{i\,x_2}{2t})^\top$.

Проблема 2. В учебнике на эту задачу есть ответ: $(x_1,x_2)\mapsto (tx_1,t^{-1} x_2)$, $(x_1,x_2)\mapsto (tx_2, t^{-1} x_1)$, $t\in \mathbb R$, $t\neq 0$. Ответ далёк от моего. Да и мнимые единицы...

[ewert]

Что-то я ничего не понял. Давайте в лоб: $A\vec x=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2\\a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{pmatrix}$.
Условие сохранения "расстояния":

$(a_{11}x_1+a_{12}x_2)(a_{21}x_1+a_{22}x_2)\equiv x_1x_2$.

Это сводится к системе уравнений:

$\begin{cases}a_{11}a_{21}=0;\\a_{12}a_{22}=0;\\a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21}=1.\end{cases}$

Решение: $a_{12}=a_{21}=0,\ a_{11}a_{22}=1$ или $a_{11}=a_{22}=0,\ a_{12}a_{21}=1$. Т.е. сохраняют расстояния матрицы вида $\begin{pmatrix}t&0\\0&t^{-1}\end{pmatrix}$ или $\begin{pmatrix}0&s\\s^{-1}&0\end{pmatrix}$, и только они. Совокупность таких матриц образует, естественно, группу, но -- неабелеву. Абелевой же подгруппой будет множество матриц первого типа, как в ответе и сказано.

[caxap]

ewert
Спасибо. Я неправильно написал значения скалярных произведений базисных векторов.

[nnosipov]

caxap в сообщении #442461 писал(а):

Последнюю задачу снимаю.

4.1. Доказать, что расстояние между плоскостями $P_1=p_1+U_1$, $P_2=p_2+U_2$ ($p_i$ -- точки, $U_i$ -- направляющие подпространства) евклидова афф. пространства может быть найдено как $|\operatorname{ort}_{U_1+U_2}\overrightarrow{p_1 p_2}|$ (ортогональная составляющая вектора относительно суммы подпространств $U_1$ и $U_2$).

Я знаю, что расстояние от некоторой точки $q$ до некоторой плоскости $P=p+U$ равно $|\operatorname{ort}_{U}\overrightarrow{pq}|$. Чтобы найти расстояние между плоскостями $P_1,P_2$ нужно взять инфимум от всех расстояний между точками из $P_1$ и плоскостью $P_2$. Но привести это к тому выражению, что требуется, не получается. Как вообще прийти к сумме подпространств?

Как ни странно, сумма подпространств совпадает с разностью этих подпространств.

[ewert]

nnosipov в сообщении #443093 писал(а):

Как ни странно, сумма подпространств совпадает с разностью этих подпространств.

Нет. Для подпространств понятие разности действительно имеет содержательный смысл, но вовсе не тот же самый, что и сумма.

[nnosipov]

ewert в сообщении #443133 писал(а):

nnosipov в сообщении #443093 писал(а):

Как ни странно, сумма подпространств совпадает с разностью этих подпространств.

Нет. Для подпространств понятие разности действительно имеет содержательный смысл, но вовсе не тот же самый, что и сумма.

И какой же? Неужели Вам непонятно, что я имел в виду? Стоит ли на пустом месте огород городить?

[caxap]

По 4.1 кажись допёр.

$\rho(P_1,P_2)=\inf\limits_{\vec u_i\in U_i} (p_1+\vec u_1,p_2+\vec u_2)=\inf\limits_{\vec u_i\in U_i} (-\vec u_1+\overrightarrow{p_1 p_2}+\vec u_2)$. Обозначим вектор в скобках как $\vec v$. Вектор $\vec v$ должен быть ортогонален плоскостям, а значит и их направляющим, т.е. $v$ ортогонален базису $U_1$ и базису $U_2$, а значит и их общему базису, т. е. $\vec v\in (U_1+U_2)^\perp$.

Так как $-\vec u_1+\overrightarrow{p_1 p_2}+\vec u_2=\vec v$, то $\overrightarrow{p_1 p_2}=(\vec u_1-\vec u_2)+\vec v$, где $(\vec u_1-\vec u_2)\in (U_1+U_2)$, а $\vec v\in (U_1+U_2)^\top$. То есть $\vec v$ -- это ортогональная составляющая $\overrightarrow{p_1 p_2}$ относительно $U_1+U_2$, что и требуется.

[nnosipov]

caxap в сообщении #443198 писал(а):

По 4.1 кажись допёр.

$\rho(P_1,P_2)=\inf\limits_{\vec u_i\in U_i} (p_1+\vec u_1,p_2+\vec u_2)=\inf\limits_{\vec u_i\in U_i} (-\vec u_1+\overrightarrow{p_1 p_2}+\vec u_2)$. Обозначим вектор в скобках как $\vec v$. Вектор $\vec v$ должен быть ортогонален плоскостям, а значит и их направляющим, т.е. $v$ ортогонален базису $U_1$ и базису $U_2$, а значит и их общему базису, т. е. $\vec v\in (U_1+U_2)^\perp$.

Так как $-\vec u_1+\overrightarrow{p_1 p_2}+\vec u_2=\vec v$, то $\overrightarrow{p_1 p_2}=(\vec u_1-\vec u_2)+\vec v$, где $(\vec u_1-\vec u_2)\in (U_1+U_2)$, а $\vec v\in (U_1+U_2)^\top$. То есть $\vec v$ -- это ортогональная составляющая $\overrightarrow{p_1 p_2}$ относительно $U_1+U_2$, что и требуется.

Зачем Вам ортогональные базисы понадобились? Можно просто сослаться на экстремальное свойство ортогональной составляющей вектора относительно данного подпространства (считайте это отдельной задачей, решить которую в любом случае полезно).

[ewert]

nnosipov в сообщении #443177 писал(а):

Неужели Вам непонятно, что я имел в виду?

Понятно, конечно. Просто Ваше определение разности, как частного случая суммы -- практически абсолютно бесполезно. В отличие от подпространства, которое образует прямую сумму с пересечением; это уже действительно содержательно.