Ещё одна СТО

[Rubik]

О. Я. Савченко 14.1.4*

Цитата:

По наблюдениям с Земли свет далёкой звезды падает на Землю под углом $\alpha$ к направлению её движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит своё направление на противоположное?

Относительная скорость СО, в которых Земля движется в разных направлениях, равна $v_r=\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}$, где $v$ - скорость Земли относительно Солнца. Пусть $v_{x1}$, $v_{x2}$ - горизонтальный составляющие скорости света от звезды в этих двух СО. $v_{x1}=c\cos\alpha$, $v_{x2}=\frac{v_{x1}-v_r}{1-\frac{v_{x1}v_r}{c^2}}=\frac{c\cos\alpha-\frac{2v}{1+\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{2vc\cos\alpha}{v^2+c^2}}=\frac{(c^2+v^2)\cos\alpha-2vc}{c^2+v^2-2vc\cos\alpha}c$. Во второй СО свет виден под углом $\cos\beta=\frac{v_{x2}}c=\frac{(c^2+v^2)\cos\alpha-2vc}{c^2+v^2-2vc\cos\alpha}$.
В задачнике ответ $\mathrm{tg}\frac12\Delta=\sin\alpha/\left(\frac cv+\cos\alpha\right)$. Откуда это взялось и правильно ли моё решение?

[Munin]

Запишите $\beta=\alpha+\Delta,$ и ищите этот угол $\Delta.$ Пока задача недоделана.

-- 05.05.2011 15:02:27 --

Ход решения неправильный. $v_{x1,\,x1}$ - горизонтальные составляющие скорости света, на них закон сложения скоростей не действует. Он действует на полные скорости, причём в данном случае у вас эти полные скорости не расположены на одной прямой, и действует полный векторный закон сложения скоростей, который вы, скорее всего, не знаете. Ищите другие способы достижения ответа.

[Rubik]

Munin в сообщении #442234 писал(а):

Запишите $\beta=\alpha+\Delta,$ и ищите этот угол $\Delta.$ Пока задача недоделана.

Ну напишу я $\Delta=\beta-\alpha=\arccos\frac{(c^2+v^2)\cos\alpha-2vc}{c^2+v^2-2vc\cos\alpha}-\alpha$, как это упростить - не вижу.

Munin в сообщении #442234 писал(а):

Ход решения неправильный. $v_{x1,\,x1}$ - горизонтальные составляющие скорости света, на них закон сложения скоростей не действует. Он действует на полные скорости, причём в данном случае у вас эти полные скорости не расположены на одной прямой, и действует полный векторный закон сложения скоростей, который вы, скорее всего, не знаете. Ищите другие способы достижения ответа.

А почему он не действует? Он же следует из преобразований Лоренца, $v_x=\frac{dx}{dt}$ и при выводе формулы для преобразования скорости нигде не используется то, что это есть полная скорость.

[Munin]

Rubik в сообщении #442280 писал(а):

как это упростить - не вижу.

Да, тут нужна тренировка работы с тригонометрией. Арккосинусы - штука обычно неинтуитивная. Вместо этого, подставьте $\alpha+\Delta$ внутрь косинуса, и раскройте его как косинус суммы. Тангенс половинного угла намекает на универсальную тригонометрическую подстановку.

Rubik в сообщении #442280 писал(а):

А почему он не действует?

В СТО, к сожалению, нельзя раскладывать скорости (трёхмерные) на проекции, и работать с ними независимо. Они взаимно влияют друг на друга. Проще всего это показать для скорости света: если взять вектор скорости света, и произвольно увеличить или уменьшить одну его проекцию, поменяется и модуль вектора, а это запрещено. По сути, скорости в СТО перестают быть векторами, а становятся просто геометрическими величинами с длиной и направлением, стрелочками. Их нельзя складывать по правилам сложения векторов, когда они направлены повдоль (действует закон сложения скоростей в известной вам форме), их нельзя складывать по правилам сложения векторов, когда они направлены поперёк (то есть раскладывать на проекции и работать с ними независимо тоже нельзя). Их нельзя складывать по правилам векторов вообще. Если копать глубже, оказывается, что пространство скоростей имеет геометрию Лобачевского, со своим "искривлённым" правилом сложения.

Существует удобная техника вычислений, когда рассматриваются не трёхмерные скорости, а их аналоги - четырёхмерные векторы в пространстве-времени. Для них можно работать с проекциями независимо (почти всегда). Соотношения для трёхмерных величин (скорости и др.) выводятся не непосредственно из преобразований Лоренца, а из более простых формул для четырёхмерных величин.

Хорошее введение в эту технику - Фейнмановские лекции по физике, том 2.

[Rubik]

Munin в сообщении #442309 писал(а):

Да, тут нужна тренировка работы с тригонометрией. Арккосинусы - штука обычно неинтуитивная. Вместо этого, подставьте $\alpha+\Delta$ внутрь косинуса, и раскройте его как косинус суммы. Тангенс половинного угла намекает на универсальную тригонометрическую подстановку.

А про неё я и не подумал. Попробую ей воспользоваться.

Munin в сообщении #442309 писал(а):

В СТО, к сожалению, нельзя раскладывать скорости (трёхмерные) на проекции, и работать с ними независимо. Они взаимно влияют друг на друга. Проще всего это показать для скорости света: если взять вектор скорости света, и произвольно увеличить или уменьшить одну его проекцию, поменяется и модуль вектора, а это запрещено. По сути, скорости в СТО перестают быть векторами, а становятся просто геометрическими величинами с длиной и направлением, стрелочками. Их нельзя складывать по правилам сложения векторов, когда они направлены повдоль (действует закон сложения скоростей в известной вам форме), их нельзя складывать по правилам сложения векторов, когда они направлены поперёк (то есть раскладывать на проекции и работать с ними независимо тоже нельзя). Их нельзя складывать по правилам векторов вообще. Если копать глубже, оказывается, что пространство скоростей имеет геометрию Лобачевского, со своим "искривлённым" правилом сложения.

Но ведь если две системы движутся друг относительно друга со скоростью $u$, то $v_{x2}=\frac{v_{x1}-u}{1-\frac{v_{x1}u}{c^2}}$, $v_{y2}=\frac{v_{y1}\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-\frac{v_{x1}u}{c^2}}$, $v_{z2}=\frac{v_{z1}\sqrt{1-u^2/c^2}}{1-\frac{v_{x1}u}{c^2}}$, то есть иксовую составляющую скорости можно преобразовывать независимо от других, другие же составляющие зависят от иксовой, с помощью этих формул можно показать то, что модуль скорости света сохраняется, меняется только её направление.

[Munin]

Rubik в сообщении #442635 писал(а):

иксовую составляющую скорости можно преобразовывать независимо от других, другие же составляющие зависят от иксовой

Да, действительно, можно. Это я упустил из виду. (В случае, когда ось $x$ направлена по направлению скорости $u.$) Тогда мои возражения по ходу решения неверны. Извините.

Если ещё есть затруднения с тригонометрией, попробуйте написать не только $\cos\beta,$ но и $\sin\beta$ и $\tg\beta,$ они тоже имеют простой вид, и могут помочь выразить то, что нужно.