Ну я вариационное исчисление довольно хорошо забыл, но в принципе так. Пусть
![$\delta g(x)$ $\delta g(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/6/de66b387316c6c4cf6546959cce8ab8682.png)
-- вариация функции. Тогда вариация функционала -- это
![$2\sum\limits_{i=0}^n(Y_i-g(x_i))\cdot\delta g(x_i)+2\lambda\int\limits_{x_0}^{x_n}g''(x)\cdot\delta g''(x)\,dx=$ $2\sum\limits_{i=0}^n(Y_i-g(x_i))\cdot\delta g(x_i)+2\lambda\int\limits_{x_0}^{x_n}g''(x)\cdot\delta g''(x)\,dx=$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/6/376a004ee8148141067fac388a3deb8882.png)
![$=2\sum\limits_{i=0}^n(Y_i-g(x_i))\cdot\delta g(x_i)+2\lambda\left(\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}g^{(4)}(x)\cdot\delta g(x)\,dx+g''(x)\cdot\delta g'(x)\Big|_{x_0}^{x_n}-\right.$ $=2\sum\limits_{i=0}^n(Y_i-g(x_i))\cdot\delta g(x_i)+2\lambda\left(\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}g^{(4)}(x)\cdot\delta g(x)\,dx+g''(x)\cdot\delta g'(x)\Big|_{x_0}^{x_n}-\right.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/1/b915a80c221318be7fb9961e677ab54b82.png)
![$\left.-g'''(x)\cdot\delta g(x)\Big|_{x_0}^{x_n}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}(g'''(x_i-0)-g'''(x_i+0))\cdot\delta g(x_i)\right).$ $\left.-g'''(x)\cdot\delta g(x)\Big|_{x_0}^{x_n}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}(g'''(x_i-0)-g'''(x_i+0))\cdot\delta g(x_i)\right).$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/5/c550533049b813cf73c9c671228bc53282.png)
Узловые значения
![$\delta g$ $\delta g$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/f/9df38634b69d90fe188d1c973a3912a082.png)
во всех узловых точках, а также
![$\delta g'$ $\delta g'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/7/f77c4195b9c6e71e173d38c8730252af82.png)
в двух крайних узлах могут быть какими угодно и никак не связаны друг с другом и со значениями интегралов. Поэтому если мы хотим, чтобы вариация всего функционала была нулевой при любой вариации функции, мы должны потребовать
![$g^{(4)}(x)\equiv0$ $g^{(4)}(x)\equiv0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/e/b1e99b7c50cf5d3aec9995c2425c952b82.png)
(кроме узлов, конечно) и равенства нулю коэффициентов при всех узловых значениях
![$\delta g$ $\delta g$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/f/9df38634b69d90fe188d1c973a3912a082.png)
и
![$\delta g'$ $\delta g'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/7/f77c4195b9c6e71e173d38c8730252af82.png)
. Коэффициенты при
![$\delta g'$ $\delta g'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/7/f77c4195b9c6e71e173d38c8730252af82.png)
в точках
![$x_0,\ x_n$ $x_0,\ x_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/2/2c2d1316487ba654ad3c00a2d999a6c582.png)
-- это
![$\lambda g''$ $\lambda g''$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/9/a192837d535c415d1ed267e8953013b882.png)
, т.е. должно быть
![$g''(x_0)=g''(x_n)=0$ $g''(x_0)=g''(x_n)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/4/2443a7653243c7d6403c0e5d24b1249f82.png)
; приравнивание нулю коэффициентов при
![$\delta g$ $\delta g$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/f/9df38634b69d90fe188d1c973a3912a082.png)
в этих же точках даст
![$Y_0-g(x_0)+\lambda g'''(x_0)=Y_n-g(x_n)-\lambda g'''(x_n)=0$ $Y_0-g(x_0)+\lambda g'''(x_0)=Y_n-g(x_n)-\lambda g'''(x_n)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/0/3f0970b0b0e4b2ef72385ee0ff420bc082.png)
, а во всех внутренних узлах будет
![$Y_i-g(x_i)-\lambda(g'''(x_i-0)-g'''(x_i+0))=0$ $Y_i-g(x_i)-\lambda(g'''(x_i-0)-g'''(x_i+0))=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/e/08ec34cc2406a255534cd3ee62778a7882.png)
. Если я нигде не напутал в знаках.
Конечно, дефект сплайна получится единичным, иначе уже первое интегрирование по частям окажется незаконным.