Вариационная задача

[shuchers]

Господа, подскажите где найти решение задачи способами вариационного исчисления:
$S_{\lambda} (g) = \sum\limits_{i=1}^n (Y_i - g(X_i))^2 +\lambda \int (g''(x))^2 \, dx$
$S_{\lambda} (g)$ - на минимум.

Доказательство того, что кубический сплайн является решением - я нашел, но нужно через ВИ.

[ИСН]

Дак примените его! Там получится диффур 4 порядка, но простой. Очень-очень простой.

[shuchers]

$f^{(4)} = 0$ ?
Это у меня получается если функционал состоит только из интегральной части. А как решить вместе с суммой не пойму.

[ИСН]

Да, так. А суммы никакой нет. Она - внешнее явление, вариационная задача о ней не знает.
Ну или как ещё сказать. Представьте, что n=2, а область интегрирования - отрезок между этими двумя точками. Тогда всё ясно?

[shuchers]

Ну не совсем. На мой взгляд получается следующее. Пусть J1 - интегральная часть функционала. J2 - оставшаяся сумма. Функционал J2 зависит только от n точек g(Xi) = gi. Зафиксируем их и решим интерполяционную задачу: J1 к min при условии, что минимизирующий сплайн обязан проходить через gi. При решении интерполяционной задачи мы получаем конкретное значение функционала J1(gi). И дальше меняя gi находим минимум J1+J2. Сейчас проблема в том, что получить значение J1(gi) в явном виде не получается.

[ИСН]

Не получается? Даже когда точек всего две?

[shuchers]

Когда всего две точки, то сплайн вырождается в прямую и значение J1 равно нулю.

[ИСН]

Так. Хорошо. Теперь усложняем: у Вас две вариационные задачи. Одна - это с двумя точками, которую Вы уже так легко решили. Другая - такая же, но на соседнем отрезке. У неё всё такое же, но есть дополнительные требования: решение должно гладко состыковаться с первым.

[ewert]

А что такое лямбда? И какие условия заданы в крайнем левом и в крайнем правом узлах?

(потому что если никаких, то у меня получаются условия интерполирования только во внутренних узлах, а в крайних -- $g''=0$ и $Y=g-\lambda g'''=0$)

[shuchers]

ewert в сообщении #442194 писал(а):

А что такое лямбда? И какие условия заданы в крайнем левом и в крайнем правом узлах?

ламбда - это, грубо говоря, коэффициент гладкости функции.
Если интересно можете посмотреть книжку http://reslib.com/book/Matematicheskie_ ... anev_A_V__ на стр. 167. Там подробно описывается смысл задачи.

ewert в сообщении #442194 писал(а):

(потому что если никаких, то у меня получаются условия интерполирования только во внутренних узлах, а в крайних -- $g''=0$ и $Y=g-\lambda g'''=0$)

Ну правильно. $g''=0$ - это дополнительные условия на сплайн, что бы был определен.
А вот $Y=g-\lambda g'''=0$ - очень интересное условие, которое есть в этой книжке. Но пока я не понял откуда оно следует.

[ewert]

Ну я вариационное исчисление довольно хорошо забыл, но в принципе так. Пусть $\delta g(x)$ -- вариация функции. Тогда вариация функционала -- это

$2\sum\limits_{i=0}^n(Y_i-g(x_i))\cdot\delta g(x_i)+2\lambda\int\limits_{x_0}^{x_n}g''(x)\cdot\delta g''(x)\,dx=$

$=2\sum\limits_{i=0}^n(Y_i-g(x_i))\cdot\delta g(x_i)+2\lambda\left(\sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}g^{(4)}(x)\cdot\delta g(x)\,dx+g''(x)\cdot\delta g'(x)\Big|_{x_0}^{x_n}-\right.$

$\left.-g'''(x)\cdot\delta g(x)\Big|_{x_0}^{x_n}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}(g'''(x_i-0)-g'''(x_i+0))\cdot\delta g(x_i)\right).$

Узловые значения $\delta g$ во всех узловых точках, а также $\delta g'$ в двух крайних узлах могут быть какими угодно и никак не связаны друг с другом и со значениями интегралов. Поэтому если мы хотим, чтобы вариация всего функционала была нулевой при любой вариации функции, мы должны потребовать $g^{(4)}(x)\equiv0$ (кроме узлов, конечно) и равенства нулю коэффициентов при всех узловых значениях $\delta g$ и $\delta g'$. Коэффициенты при $\delta g'$ в точках $x_0,\ x_n$ -- это $\lambda g''$, т.е. должно быть $g''(x_0)=g''(x_n)=0$; приравнивание нулю коэффициентов при $\delta g$ в этих же точках даст $Y_0-g(x_0)+\lambda g'''(x_0)=Y_n-g(x_n)-\lambda g'''(x_n)=0$, а во всех внутренних узлах будет $Y_i-g(x_i)-\lambda(g'''(x_i-0)-g'''(x_i+0))=0$. Если я нигде не напутал в знаках.

Конечно, дефект сплайна получится единичным, иначе уже первое интегрирование по частям окажется незаконным.

[shuchers]

ИСН в сообщении #442193 писал(а):

Так. Хорошо. Теперь усложняем: у Вас две вариационные задачи. Одна - это с двумя точками, которую Вы уже так легко решили. Другая - такая же, но на соседнем отрезке. У неё всё такое же, но есть дополнительные требования: решение должно гладко состыковаться с первым.

Да. вот тут уже у меня начинаются проблемы. Если сплайн $S(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3$, то интегральный функционал зависит от уже ненулевых коэффициентов c_i и d_i. И вообще говоря что посчитать эти коэффициенты, нужно посчитать вообще коэффициенты $a_i, b_i, c_i, d_i$. А для этого нужно составлять системы линейных уравнений и их решать.

[ИСН]

Ну так линейных же. Отчего бы и не порешать.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #442393 писал(а):

Ну так линейных же. Отчего бы и не порешать.

Нас на втором курсе на экзамене по численным методам кого-то даже и заставили. И ничего, порешал как миленький.