Источник: А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, изд. Факториал, 2000
Я решил выставлять решения (отдельных задач) сюда для самоконтроля…(если у кого-то есть время, был бы рад замечаниям и указанием на грехи)...а может и кому-нибудь ещё пригодится.
Сразу появился вопрос к первой задаче:
1. Привести пример метрики на конечном множестве, которая не индуцируется никаким его вложением в евклидово пространство.Что понимается здесь под "вложением в евклидово пространство"?
2. Показать, что конечное множество на прямой является замкнутым.Решение: Дополнение к конечному множеству на прямой суть (конечное) объединение интервалов. Интервалы - открытые множества. Объединение открытых множеств есть открытое множество.
3. (Пусть
- метрическое пространство.) Показать, что
. (Здесь:
- замыкание множества
;
;
) Решение:
Так как

, то, очевидно,

.
Теперь, пусть

- точка прикосновения для

. Тогда

. Так как

для всех

, то

.
В случае если

, то, используя неравенство треугольника, получаем для произвольной точки прикосновения

множества

:

. Так как

не зависит ни от

ни от

, то смеем взять инфимум сначала по

справа и получить:

. Но

- точка прикосновения, и поэтому

. Теперь осталость взять справа инфимум по

.
5. Показать, что любая метрика на конечном множестве индуцирует на нём дискретную топологию.Решение:
Покажем, что если

есть конечное множество, то для всех метрик

имеем

. Действительно, с одной стороны понятно, что

. Теперь возьмём произвольное открытое множество

. Мы должны показать, что

открыто относительно данной метрики, то есть для каждого

существует открытый шар

. Чтобы найти этот шар, то есть чтобы определить

, нужно иметь в виду, что

состоит из конечного числа элементов, типа

. Если снабдить

метрикой, то каждой паре точек

с фиксированным

соответствует расстояние между ними

, где

. В простейшем случае

мы можем выбрать для

любое положительное вещественное число. Но если

содержит хотя бы два различных элемента или конечное их число, то имеем шар

с

. В любом случае шар имеет вид

.