Помогите решить несложный интеграл: Mathematica и Г-функция

[Rigina]

$\int x^{5/3}\exp(-x)dx$
Или хотя бы подскажите метод решения.
Интегрирование по частям здесь вроде не подходит.

[LynxGAV]

Зачем мы учимся? - Чтобы потом как можно меньше работать..

Mathematica:

Integrate[ x^(5/3) Exp [-x], x] = Exp [-x] [-(5/3)*x^(2/3) - х^(5/3)] - 10/9 Gamma [2/3, х]

Не нравится мне как она считает! Значит первые два слагаемых нормально пишет, а в третьем ставит пределы. Может я еще не проснулась?

[Genrih]

LynxGAV писал(а):

Mathematica:

Integrate[ x^(5/3) Exp [-x], x] = Exp [-x] [-(5/3)*x^(2/3) - х^(5/3)] - 10/9 Gamma [2/3, х]

Не нравится мне как она считает! Значит первые два слагаемых нормально пишет, а в третьем ставит пределы. Может я еще не проснулась?

Интегрируй по частям ни интегрируй, а от Гаммы здесь не убежать.
Пределы ясны : $\int^{ \infty }_{x} x^ \frac{-1}{3} e^{-x} dx = \Gamma (\frac {2}{3})$ (с переменной нижней границей), что еквивалентно неопределенному интегралу после пару раз "по частям"

[LynxGAV]

ДА
Я продифференцировала =)))

[Genrih]

Цитата:

ДА
Я продифференцировала =)))

Я тоже
Даже, если расставить границы найти значение $\Gamma (\frac{2}{3} )$ мне не удается

[LynxGAV]

Это не гамма-функция, это неполная гамма-функция $\Gamma\left(\frac {2}{3}, x\right)$. (С нижним пределом ноль это чистая гамма-функция от двух третих, с такими же пределами исходный интеграл гамма-функция от восьми третих.) Больше ничего упростить не удастся.
Не пойму чего меня переклинило. Вобщем так и делается обычно. Неопределенный, ставим верхний предел х, а нижний фиксируем, лишь бы сходилось - теряется только константа.

[Genrih]

Похоже, что упростить никак в случае "чистой гаммы". Обычные ее свойства не помогают

[LynxGAV]

Ааа..
Я поняла, что Вы хотите сказать.
Те свойства, что Вы назвали обычными, они для целых положительных и полуцелых через 1/2, если с формулой дополнения Эйлера.
Гамма-функцию от двух третих можно выразить через гамма-функцию от одной третей, а ее через полный эллиптический интеграл первого рода. Только кому от этого легче?

[Genrih]

Картины не меняет

[Rigina]

Спасибо за ответы.
Дело в том, что интеграл выглядит на самом деле таким образом:

Integral (x^(5/3)*Exp[-x])/Gamma[5/3] dx то есть в знаменателе полная Г-фкц.
На сайте вольфрам.ком в решении присутствует неполная Г-ф:
Integrate[(x^(5/3)*Exp[-x])/Gamma[5/3], x] =
(((-5*x^(2/3))/3 - x^(5/3))/E^x - (10*Gamma[2/3, x])/9)/Gamma[5/3]

Подскажите пожалуйста, моу ли я при принять, что Г(число, x) в данном случае = Г(число)? то есть неполную Г-фкц считать как полную? Это что-ниб изменит?

Дело в том, что мне необходимо вычислить еще несколько интегралов, которые отличаются от указанного только показателем степени при x (показатель меняется 5;5/2;5/3...5/10).
Интегралы эти получены с помощью гамма-распределения (при разных альфа, от 5;5/2;5/3...5/10) и мне надо будет подобрать аналитическую зависимость описывающую эти решения... И в этой аналитической зависимости не должна присутствовать Г-фкц , тем более неполная. Полную Гамму я могу вычислить, у мня есть таблицы и формулы различные. А для неполной ничего не нашла... (таблицы Пагуровой для неполной гаммы-фкц похоже большая редкость?).
{Кстати интегралы эти имеют пределы интегрирования.(от 0 до некот. параметра, от параметра до 0, от параметра до беск...) - о в общем это ничего не меняет}

[незваный гость]

Rigina писал(а):

Подскажите пожалуйста, моу ли я при принять, что Г(число, x) в данном случае = Г(число)? то есть неполную Г-фкц считать как полную?

Нет! Ни в коем случае!

Rigina писал(а):

Дело в том, что мне необходимо вычислить еще несколько интегралов, которые отличаются от указанного только показателем степени при x (показатель меняется 5;5/2;5/3...5/10).
Интегралы эти получены с помощью гамма-распределения (при разных альфа, от 5;5/2;5/3...5/10) и мне надо будет подобрать аналитическую зависимость описывающую эти решения... И в этой аналитической зависимости не должна присутствовать Г-фкц , тем более неполная. Полную Гамму я могу вычислить, у мня есть таблицы и формулы различные.

Попробуйте написать исходную задачу. Пока что-то не очень понятно, что Вы пытаетесь решить. В том виде, что Вы написали, от неполной $\Gamma(a,x)$ не уйти никуда.

[Rigina]

ОК. Пишу условие задачи.
Надо мне выполнить расчет по разработке нефтяных месторождений…
Расчет нужно выполнить с использованием функции гамма-распределения. Плотность гамма-распределения абсолютной проницаемости в общем виде выражается следующим образом: f(k)=[k^(a-1)*exp(-k/b)] / Г(a)*b^a ,
где Г(а) – полная гамма-функция; Г(а)=интеграл от 0 до беск от [exp(-x)*x^(a-1)] dx, a>0, x>0;
x – для данной задачи x=k/b, где k – абсолютная проницаемость (некоторая величина), меняется от 0 до беск.;
а (alpha) – для данной задачи принимает значения 5; 5/2; 5/3; 5/4; 5/5; 5/6; 5/7; 5/8; 5/9; 1/2;
b (beta) – для данной задачи величина постоянная.
Необходимо вычислить при различных значениях а(значения а см.выше) интегралы следующих видов:
1) интеграл от 0 до ks ( k*f(k) dk), где f(k) – см. выше самое первое выражение;
ks – величина, меняющаяся от 0 до беск. (при подстановке в решенный интеграл пределов интегрирования она подставляется вместо k именно в таком виде: ks, так что ее пределы не столь важны для вычисления интеграла).
2) интеграл от ks до беск ( k*f(k) dk).

В первой стадии вычисления 1) и 2) и получается вышеуказанный (в самом первом посте этой темы) интеграл. Который решается слегка когда а целое число, а вот при дробном показателе получается засада в виде неполной гаммы-функции.
Причем в процессе вычисления сплошь и рядом используются полные Г-фкц, но их я нахожу по соответствующим таблицам. Так что это не представляет проблемы. А вот что делать с неполными гаммами, я не знаю… Может получится как-то привети неполную к полной "с минимальными потерями"?
Я конечно люблю математику, но статистика хромает (хотя ее у нас вообще практически не было. Разбираюсь с нуля почти.). Поэтому сильно не ругайте

[незваный гость]

Первый интеграл сводиться к $b \left(a - \frac{\Gamma(a+1,ks/b)}{\Gamma(a)} \right)$, второй - к $b \frac{\Gamma(a+1,ks/b)}{\Gamma(a)} $ (их сумма всегда равна $a b$ - простите за трюизм). Так что, ести Вы умеете вычислять второй, Вы можете выичслить и первый.

Для неполной $\Gamma(a,x)$ существует разложение в ряд Тейлора. Но она не выразима в конечном виде через $\Gamma(a)$. Сколько значений Вам нужно вычислить? Если два-три десятка, это не проблема... Но ведь и у Вас есть Mathematica.

[Rigina]

незванный гость писал(а):

:evil:
Первый интеграл сводиться к $b \left(a - \frac{\Gamma(a+1,ks/b)}{\Gamma(a)} \right)$, второй - к $b \frac{\Gamma(a+1,ks/b)}{\Gamma(a)} $ (их сумма всегда равна $a b$ - простите за трюизм). Так что, ести Вы умеете вычислять второй, Вы можете выичслить и первый.
Для неполной $\Gamma(a,x)$ существует разложение в ряд Тейлора. Но она не выразима в конечном виде через $\Gamma(a)$. Сколько значений Вам нужно вычислить? Если два-три десятка, это не проблема... Но ведь и у Вас есть Mathematica.

Спасибо огромное! Ваши решения получились очень красивыми. Получить по ним конечные значения я смогу (по указанной Вами ссылке нашла информацию по вычислению неполной ГФ - спасибо!!).
Преклоняюсь перед Вашими математическими способностями.
Но даже в мечтах не могу представить себе возможность того, что я от своих интегралов сама смогу прийти к этим решениям.
Не могли бы Вы привести хотя бы основные промежуточные выкладки как прийти от интеграла 1) ИЛИ 2) к приведенным Вами решениям. Хотя бы направление дайте, пожалуйста.
Например, как из полученного на сайте вольфрам.ком решения Integrate[(x^(5/6)*Exp[-x])/Gamma[5/6], x] =
(-(x^(5/6)/E^x) - (5*Gamma[5/6, x])/6)/Gamma[5/6]
получить приведенное Вами выражение b[a-Г(a+1,ks/b)/Г(a)] ?? Подскажите пожалуйста. Можете сбросить мне на [e-mail]. Буду Вам очень признательна

MATHEMATICA - это программный продукт какой-то? У меня ее нет, есть тольк Microsoft Excel и калькулятор

[незваный гость]

Rigina писал(а):

MATHEMATICA - это программный продукт какой-то? У меня ее нет, есть тольк Microsoft Excel и калькулятор

Если можно, начну с конца. Да, Mathematica - это программный продукт. Вы им уже пользовались, когда брали интегралы on-line. Естественно, on-line предоставляется демонстрация возможностей. Реальный пакет куда мощнее, требует определенных усилий по изучению, и финансов на приобретение. Плюс, чтобы понять ответ, иногда надо знать математику.

Интересно, что если Вы пойдете on-line, и вместо конкретных $a$ оставите букквенные обозначения (x^a Exp[-x/b]), Вы получите вполне приемлемый ответ (он требует упрощения, но уже лучше, чем тот, что был).