Тригонометр. уравнение

[I want to get five]

$\dfrac{\sin^2{3x}+\sin^2{5x}-2\sin^2{4x}}{cos(2x-\dfrac{\pi}{8})}=0$

Понятно, что это эквивалентно системе

$$\begin{cases} \sin^2{3x}+\sin^2{5x}-2\sin^2{4x}=0 \\ cos(2x-\dfrac{\pi}{8}) \ne 0\\ \end{cases}$$

Второе уравнение понятно как решать, но оптимальный способ решения первого -- неочевиден...
Я делал так

$\sin(3x)=\sin(4x-x)=\sin(4x)\cdot \cos(x) - \cos(4x)\cdot \sin(x)$
$\sin(5x)=\sin(4x+x)=\sin(4x)\cdot \cos(x) - \cos(4x)\cdot\sin(x)$

Обозначим
$\sin(4x)\cdot \cos(x)=a$
$ \cos(4x)\cdot \sin(x)=b$

Тогда

$\sin^2{3x}+\sin^2{5x}=(a-b)^2+(a+b)^2=2(a^2+b^2)=2(\sin^2(4x)\cdot \cos^2(x)+\cos^2(4x)\cdot \sin^2(x)$

Приравняем числитель к нулю

$\sin^2{3x}+\sin^2{5x}-2\sin^2{4x}=0$

=> $2(\sin^2(4x)\cdot \cos^2(x)+\cos^2(4x)\cdot \sin^2(x)-2\sin^2{4x}=0$

$\sin^2(4x)\cdot \cos^2(x)+\cos^2(4x)\cdot \sin^2(x)-\sin^2{4x}=0$

Как дальше быть? Или есть более оптимальныйметод?!)

[ИСН]

Не так.
Все синусквадраты перевести в косинусы удвоенных аргументов. Потом - - -

[Виктор Викторов]

А потом пристально посмотреть на то, что получилось.

[I want to get five]

Спасибо!
$\sin^2{3x}+\sin^2{5x}-2\sin^2{4x}=\dfrac{1}{2}(1-\cos{6x})+\dfrac{1}{2}(1-\cos{10x})-(1-\cos{8x})=\dfrac{1}{2}(-\cos{6x}-\cos{10x}+2\cos{8x})=0$

Нужно заметить, что $6x=8x-2x$ и $10x=8x+10x$?!

$(\cos{8x}-\cos{6x})-(\cos{10x}-\cos{8x})=0$

$2\cos{7x}\cos{x}-2\cos{9x}\cos x=0$

$\cos x(\cos{7x}-\cos{9x})=0$

$\cos x\cdot \sin{8x}\sin x=0$

Правильно ли??!

[Виктор Викторов]

Да. Верно.

[shur]

(Оффтоп)

Даже до отбора(отсева корней) с ответом не совпадает
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin^2%283x%29%2Bsin^2%285x%29-2sin^2%284x%29%3D0

[bot]

Разность косинусов раскладываетмся в произведение синусов, а не косинусов.