Теория групп (теорема Силова)

[jrMTH]

$G = {x, y, a, b, c, d}.$

$(G, *)$ is a group under a certain binary operation $*$.

If $x * y = a$ and $y * x = d$, then how many self-inverses does $(G, *)$ have?

[Sonic86]

Вы перевести смогли? По-моему, Вам предлагают найти максимальное число решений уравнения $z*z=e$.

[jrMTH]

Sonic86 в сообщении #441332 писал(а):

Вы перевести смогли? По-моему, Вам предлагают найти максимальное число решений уравнения $z*z=e$.

Трудно понять. Только начал в этих группах разбираться.
Можно на примере?

[Sonic86]

Почитали бы книжки. Книжек по теории групп много
Возьмем группу и рассмотрим ее таблицу Кэли (если не знаете, что это такое, погуглите). Строки и столбцы обозначаются элементами $G$, размер таблицы - $|G| \times |G|$. На пересечении строки с номером $g$ и столбца с номером $h$ пишется произведение $g*h$. В 1-м столбце обычно записывается ее единица $e$ (если нет нуля), т.е. нейтральный элемент по умножению, такой, что для $(\forall g \in G) g*e = e*g = g$ (в группе такой элемент всегда один). Элементы $g*g$ находятся в таблице Кэли где?
Рассмотрите для примера таблицы Кэли групп $\mathbb{Z}_3, \mathbb{Z}_8^*$ по умножению, найдите там число решений уравнения $a \cdot a = 1$ хоть перебором. Потом перейдите к своей задаче.

[Munin]

Вот интересно, как решать именно эту задачу. Есть ли что-то более умное, чем перебором?

[Sonic86]

Munin писал(а):

Вот интересно, как решать именно эту задачу. Есть ли что-то более умное, чем перебором?

Можно просто перебрать все группы порядка 6 (если их знать ), достаточно некоммутативные перебирать. (попробовал, работает, ответ очень простой).

[Munin]

Sonic86 в сообщении #441696 писал(а):

(попробовал, работает, ответ очень простой)

Напишите в личку, интересно. Меня перебор пока пугает.

[mihiv]

С помощью теоремы Силова можно получить,что число решений уравнения $z^2=e$ равно 4.

[Munin]

И где с этой теоремой и решениями ознакомиться?

[Sonic86]

mihiv писал(а):

С помощью теоремы Силова можно получить,что число решений уравнения $z^2=e$ равно 4.

Круто! Надо мне учить теорию групп лучше. У меня так же получилось.

Munin писал(а):

И где с этой теоремой и решениями ознакомиться?

Есть в Кострикине Алгебра, в Куроше Теория групп, в Винберге Курс алгебры, даже в Богопольском (в ван дер Вардене не нашел )
Наконец, в Вики:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%B2%D0%B0

[mihiv]

Например, в книге Кострикина "Основные структуры алгебры".Уже ответили.

[Munin]

...нифига я групп не знаю... всем спасибо

[Joker_vD]

Ну а даже и с теоремой Силова — там ведь надо показать, что найдутся три подгруппы порядка два?

[Dan B-Yallay]

Подруппа порядка 2 найдется согласно первой теореме Силова. Факт, что таких подгрупп имено 3 следует из второй телремы Силова.

[Joker_vD]

Количество $N$ подгрупп порядка два по второй теореме Силова обязано всего лишь быть нечетным, а по теореме Лагранжа оно делит шесть. Однако есть аж два таких числа $N$ — единица и тройка. Так почему именно три, а не одна?