Задача о взвешиваниях

[DoTheTwist]

Разбираюсь сейчас с производящими функциями ( http://kvant.mirror1.mccme.ru/1984/05/metod_proizvodyashchih_funkcij.htm ) и непонятен первый же пример(задача о взвешиваниях) по вышеприведенной ссылке, где рассматриваются произведения (1-z)(1+z) = 1 -z^2 и т.д.
После перемножения и сокращения общих множителей справа якобы получается 1. Но как они получили это? Должно ведь быть, например (1-z)(1+z)(1+z^2)(1+^4).. (1+z^k/2)= 1 - z^k

Что же это получается?

[gris]

Но это бесконечное произведение и кроме 1 как бы и нет больше членов. Можно показать от противного. Это относится к "правдоподобным рассуждениям" (Пойа), на которые Эйлер был мастак. Сравните с суммированием ряда из обратных квадратов.

[caxap]

Если $|z|<1$, то $z^k\to 0$ при $k\to\infty$.

[DoTheTwist]

Спасибо за ответы!

|z| <1 здесь не причем, так как z формальная переменная.

@gris, произведение бесконечное, но мне все равно не понятно, что сделал Эйлер. Почему он написал, что после сокращения останется единица. Сумма обратных квадратов ясности не добавила, к сожалению.

[Joker_vD]

$(1-z)(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)\cdot\ldots\cdot(1+z^{2k})\cdot\ldots$

Чему равен свободный член? Коэффициент при $z$? При $z^2$? При $z^3$? При $z^4$? При $z^5$?.. При $z^n$?..

[gris]

Эйлер вот именно, что рассмотрел чисто формальное равенство выражений, не особенно заботясь о строгости. И интуиция его не подвела. Почти такие же нестрогие рассуждения он применял и для упомянутого мной ряда. Просто это было написано в книжке Пойя "Математика и правдоподобные рассуждения" и не так давно обсуждалось на форуме.
Если не заморачиваться над смыслом бесконечных произведений и сумм, то можно предположить, что произведение даже бесконечного числа двучленов равняется некоторому многочлену. Нечётным степеням там взятся неоткуда, а чётные ($2^n$) будут постепенно уходить. И останется одна единичка.
Разумеется, тут можно придраться к великому математику, но сработало же

[beroal]

DoTheTwist в сообщении #437395 писал(а):

После перемножения и сокращения общих множителей справа якобы получается 1. Но как они получили это? Должно ведь быть, например (1-z)(1+z)(1+z^2)(1+^4).. (1+z^k/2)= 1 - z^k

Для начала, чтобы всё было кристально ясно, мы работаем с формальными степенными рядами (ФСР). То есть относительно ФСР $f$ нас интересуют только коэффициенты при $z^n$ для $n \in \mathbb{N}$, обозначим их $coeff(f)(n)$. Мы не пытаемся подставить число вместо $z$ и вычислить $f$.

Коэффициенты суммы или произведения ФСР вычисляются так же, как и для многочленов. Поэтому, чтобы вычислить некоторый коэффициент конечной суммы или конечного произведения ФСР, нужно вычислить различные конечные суммы и конечные произведения коэффициентов ФСР. Поэтому конечная сумма или конечное произведение ФСР есть ФСР.

С бесконечным произведением ФСР сложнее. Произведение, которое нужно найти в вашей задаче, обозначим $pr(1)$, где $pr(l) := \prod\limits_{m\in\mathBB{N},m\geq l}{1+z^{2^m}}$. Можно доказать, что, «чтобы вычислить некоторый коэффициент $pr(l)$, нужно вычислить различные конечные суммы и конечные произведения коэффициентов ФСР». То есть $pr(l)$ есть ФСР.

$(1-z^{2^l})\cdot pr(l) = (1-z^{2^l})\cdot(1+z^{2^l})\cdot pr(l+1) = (1-z^{2^{l+1}})\cdot pr(l+1) $
$pru(l) := (1-z^{2^l})\cdot pr(l)$
$\forall l\in\mathbb{N}. l\geq 1 \to \forall d\in\mathbb{N}. pru(l) = pru(l+d)$
Словами: $pru$ является константной функцией на … области значений.

Возьмём $l\geq 1$ и $i<2^l$, тогда $coeff(1-z^{2^l})(i) = cu(i)$, где $cu(i) := \begin{cases}1, & i=0 \\ 0\end{cases}$. $coeff(pr(l))(i) = cu(i), coeff(pru(l))(i) = cu(i)$.

Для любого $i$ найдём такой $l$, что $i<2^l$, тогда $coeff(pru(1))(i) = coeff(pru(l))(i) = cu(i)$. $\forall i\in\mathbb{N}. coeff(pru(1))(i) = cu(i)$, тогда $pru(1)=1$.