После перемножения и сокращения общих множителей справа якобы получается 1. Но как они получили это? Должно ведь быть, например (1-z)(1+z)(1+z^2)(1+^4).. (1+z^k/2)= 1 - z^k
Для начала, чтобы всё было кристально ясно, мы работаем с формальными степенными рядами (ФСР). То есть относительно ФСР

нас интересуют только коэффициенты при

для

, обозначим их

. Мы не пытаемся подставить число вместо

и вычислить

.
Коэффициенты суммы или произведения ФСР вычисляются так же, как и для многочленов. Поэтому, чтобы вычислить некоторый коэффициент конечной суммы или конечного произведения ФСР, нужно вычислить различные конечные суммы и конечные произведения коэффициентов ФСР. Поэтому конечная сумма или конечное произведение ФСР есть ФСР.
С бесконечным произведением ФСР сложнее. Произведение, которое нужно найти в вашей задаче, обозначим

, где

. Можно доказать, что, «чтобы вычислить некоторый коэффициент

, нужно вычислить различные конечные суммы и конечные произведения коэффициентов ФСР». То есть

есть ФСР.



Словами:

является константной функцией на … области значений.
Возьмём

, тогда

, где

.

.
Для любого

найдём такой

, что

, тогда

.

, тогда

.