Теплопроводность цилиндра, установившийся режим

[Александр Т.]

Dmitry80 в сообщении #439390 писал(а):

А можно ли как-то решить в такой постановке:

Пусть с внутренней стороны цилиндра (кварцевой трубки с внешним/внутренним диамерами 14/8 мм) температура должна быть не менее 445 Цельсия (кипение серы), и производится теплоотбор мощностью 150 Вт (на испарение серы). Какие условия должны быть на внешней стороне цилиндра (подводимая мощность и температура)? Ну про мощность вроде бы понятно - те же 150 Вт, если пренебречь тепловыми потерями. А как найти температуру?

$$ T_\mathrm{e} = T_\mathrm{i} + \dfrac{P}{2\pi \varkappa L} \ln\dfrac{R_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i}} $$

Здесь $T_\mathrm{e}$ и $T_\mathrm{i}$ — температуры на внешней и внутренней поверхностях цилиндра, $R_\mathrm{e}$ и $R_\mathrm{i}$ — радиусы внешней и внутренней поверхностей цилиндра, $L$ — длина цилиндра, $\varkappa$ — теплопроводность материала цилиндра, $P$ — мощность теплоотвода.

Подчеркиваю, что $T_\mathrm{e}$ — это температура, которая установится сама на внешней поверхности цилиндра, если будут обеспечены постоянство теплоотвода, постоянство температуры на внутренней поверхности цилиндра и постоянный теплоподвод внутрь цилиндра, равный по мощности теплоотводу.

С другой стороны, если добиться того, чтобы $T_\mathrm{e}$ была постоянна и равна выписанному выше значению, то это обеспечит соответствующий теплоподвод внутрь цилиндра (даже если и будут потери тепла).

[Dmitry80]

Спасибо.
А в какой литературе есть ссылка на эту формулу?

[Munin]

"Уравнения математической физики", "Методы математической физики".

[Александр Т.]

Александр Т. в сообщении #440083 писал(а):

$$ T_\mathrm{e} = T_\mathrm{i} + \dfrac{P}{2\pi \varkappa L} \ln\dfrac{R_\mathrm{e}}{R_\mathrm{i}} $$

Dmitry80 в сообщении #440210 писал(а):

Спасибо.
А в какой литературе есть ссылка на эту формулу?

Вряд ли в литературе можно найти именно эту формулу, поскольку она является одной из многих формул, которые можно получить, решая задачу о стационарном распределении температуры при заданных граничных условиях.

В данном случае — это результат решения дифференциального уравнения для функции $T(\varrho)$ (где $\varrho$ — соответствующая координата цилиндрической системы координат)

$$ 2\pi\varrho L \varkappa \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}\varrho} = P $$

с граничным условием

$$ T(R_\mathrm{i}) = T_\mathrm{i} . $$

Это уравнение выражает собой закон сохранения энергии (поток тепла через любую цилиндрическую поверхность $\varrho=\mathrm{const}$ равен $P$). Подставив в решение этой задачи $T_\mathrm{e}$ вместо $T$ и $R_\mathrm{e}$ вместо $\varrho$ получим вышевыписанную формулу.

[Dmitry80]

Всем спасибо.

А как получить тот же расчет при условии, что система находится не в вакууме, а в обернута теплоизоляционной ватой толщиной 5 см?

[Ales]

Постоянная температура - гармоническая функция.
Для цилиндра - логарифм радиуса.
Для шара - величина обратная радиусу.
Для линии - линейная величина.

Если тепловые расчеты для стационарных режимов на плоские стенки делаются с помощью линейных величин $T=a+b\cdot x$, то на трубы надо использовать логарифмы $T=a+b\cdot lnr$.

-- Вт май 03, 2011 17:47:34 --

Тепловой поток - по модели Фурье - это поток градиента температуры с коэффициентом теплопроводности.