Помогите доказать ограниченность последовательности

[Xenia1996]

Один из героев Герберта Уэллса любил, ложась спать, вычислять степени тройки, дабы быстрее заснуть.
У меня похожий "бзык" имеется - беру натуральное число и прибавляю к нему произведение его десятичных цифр. С полученным числом проделываю то же самое и т. д. Когда появляется число, содержащие 0, последовательность (по понятным причинам) циклится.

И вот, моя интуиция подсказывает мне, что какое бы натуральное число я не взяла в качестве начального элемента этой последовательности, рано или поздно появится нолик, и последовательность перестанет возрастать. Но доказать сие я не смогла.

Правда, имеются некоторые соображения.
1. Произведение десятичных цифр натурального числа не больше его самого.
2. Если первая цифра $n$ - значного чила равна $a$, то произведение цифр не больше $a\cdot 9^{n-1}$, а само число не меньше $a\cdot 10^{n-1}$, следовательно, отношение числа к произведению его цифр будет увеличиваться по мере возрастания количества цифр в десятичной записи числа.
3. Если бы последовательность возрастала неограниченно, к очередному её элементу каждый раз прибавлялась бы всё меньшая его доля. Скажем, если к числу 15 прибавить произведение его цифр, получится число, на треть большее. Но с большими числами такое уже не прокатит. Каждый раз будет прибавляться мааахонький кусочек.
Но тогда неизбежно наступит момент, когда при переходе от $n$ - значного числа к $n+1$ - значному мы столнёмся с числом, начинающимся на 10, а сие означает, сами понимаете что.

Короче, мой вопрос таков: верны ли мои рассуждения, и если да, то как оформить их математически?

[zhekas]

Фактически вы уже всё написали.

Пусть a - n-значное число, а b произвидение его цыфр. Как только (b/a)<=1/10 для любого n-значного числа, тогда если оно не зациклится до перехода на n+1-значное, то при переоде точно зациклится.

Можно найти n

$a\ge10^{n-1}$, $b\le 9^n$, откуда

$$\frac{b}{a}\le\frac{9^{n}}{10^{n-1}}$$

откуда надо решить неравенство

$$\frac{9^{n}}{10^{n-1}}\le\frac{1}{10}$$

$$\frac{9^{n}}{10^{n}}\le\frac{1}{90}$$

$$n\ge\log_{\frac{9}{10}}\frac{1}{90}$$

$$n\ge43$$

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #441048 писал(а):

$$n\ge43$$

Супер! Спасибо!
Только там 44 получается.

[svv]

Пусть $p(n)$ -- произведение десятичных цифр числа $n$. Обозначим через $I_n$ число, десятичная запись которого -- это $n$ единиц.

Если последовательность растет неограниченно, то для любого достаточно большого $n$ найдётся такой элемент $a_k$, который имеет $n$ десятичных цифр, а следующий элемент $a_{k+1}=a_k+p(a_k)$ имеет $n+1$ десятичных цифр, причем среди них нет ни одного нуля (Вы легко докажете, что прибавки больше чем на один разряд за "ход" быть не может).

Значит,
$a_k<10^n$
$a_k+p(a_k)\geqslant I_{n+1}=10^n+I_n$
Отсюда $I_n<p(a_k)$

Но $p(a_k)\leqslant 9^n$.
Следовательно, $I_n < 9^n$.
Начиная с $n=21$ это неверно.

[zhekas]

Немного наврал.

достаточное условие $b\le10^{n-1}$,

Откуда получаем неравенство

$$9^n\le10^{n-1}$$

$$\left(\frac{9}{10}\right)^n\le\frac{1}{10}$$

$$n\ge\log_{\frac{9}{10}}\frac{1}{10}$$

$$n\ge22$$

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #441056 писал(а):

$$n\ge22$$

Но ведь $\frac{10^{43}}{9^{43}}<100$

[zhekas]

Xenia1996 в сообщении #441061 писал(а):

zhekas в сообщении #441056 писал(а):

$$n\ge22$$

Но ведь $\frac{10^{43}}{9^{43}}<100$

И что?

[Xenia1996]

zhekas в сообщении #441062 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #441061 писал(а):

zhekas в сообщении #441056 писал(а):

$$n\ge22$$

Но ведь $\frac{10^{43}}{9^{43}}<100$

И что?

В ту же ловушку попалась, вместо 10 взяла 100. А так, 22, конечно!

-- Пн май 02, 2011 21:33:35 --

Только что нашла похожую задачу (номер 4):

http://www.imomath.com/othercomp/Apo/ApoMC82.pdf

Особенно мне понравились слова "prove or disprove"
То есть, за опровержение тоже начислили бы очки?

-- Пн май 02, 2011 22:10:21 --

Эта задача становится намного сложнее, если не ограничиваться натуральными числами.

Например, $1.99+9\cdot 9\cdot 1=82.99,$

$82.99+8\cdot 2\cdot 9\cdot 9=1378.99\dots$

Ну, короче, Вы поняли, о чём я.

[Xenia1996]

Xenia1996 в сообщении #441063 писал(а):

Эта задача становится намного сложнее, если не ограничиваться натуральными числами.

Например, $1.99+9\cdot 9\cdot 1=82.99,$

$82.99+8\cdot 2\cdot 9\cdot 9=1378.99\dots$

Ну, короче, Вы поняли, о чём я.

Тут я, конечно, сильно сглупила

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

А если расширить задачку до иррациональных чисел, то она становится просто неподьёмной.

[Xenia1996]

Dan B-Yallay в сообщении #441120 писал(а):

(Оффтоп)

А если расширить задачку до иррациональных чисел, то она становится просто неподьёмной.

(Оффтоп)

Так, стоп-машина!
Иррациональное число представляется в виде бесконечной непериодической дроби. Какой смысл имеет произведение бесконечного числа цифр?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Ну если среди этой последовательности затесался нолик...
А вообще-то я смайлик хотел поставить, но зачем-то передумал. Зря наверное.