Об естественных топологиях (по следам одной полемики)

[bayak]

Естественной топологией евклидовой плоскости (точнее, топологией, порождающей евклидову метрику) служит топология сферы.

Обоснование: Пусть плоскость представлена совокупностью прямых, пересекающихся в одной отмеченной точке. Намотаем все эти прямые на сферу так, чтобы они отобразились в большие окружности сферы. Тогда, фиксируя отмеченную точку, но допуская движения плоскости, сохраняющие форму и площадь сферы, мы получим евклидовы повороты.

Естественной топологией псевдоевклидовой плоскости (топологией, порождающей псевдоевклидову метрику) служит топология тора.

Обоснование: Пусть плоскость представлена совокупностью прямых, параллельных декартовой системе координат. Намотаем все эти прямые на тор так, чтобы они отобразились в семейство образующих (задающих) окружностей тора. Тогда, фиксируя произвольную точку плоскости, но допуская её движения, сохраняющие форму и площадь тора, мы получим псевдоевклидовы повороты.

И уже без обоснования:
Естественной топологией мира Минковского служит $S^{3}\times S^{1}$, а естественной топологией пространства Бервальда-Моора служит $S^{1}\times S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$.

P.S. Я так чувствую, но формулы у меня имеются.

[Oleg Zubelevich]

Может сразу в "Пургаторий" а?

[мат-ламер]

bayak в сообщении #441051 писал(а):

(точнее, топологией, порождающей евклидову метрику)

Простите, кто кого порождает?

[migmit]

Oleg Zubelevich в сообщении #441052 писал(а):

Может сразу в "Пургаторий" а?

Да, пожалуй. Если вывод содержит термины, не имеющие определений, а "обоснования" не имеют к выводам никакого отношения – туда.

[Munin]

Пусть формулы выложит, а тогда в "Пургаторий".

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #441051 писал(а):

Естественной топологией евклидовой плоскости (точнее, топологией, порождающей евклидову метрику) служит топология сферы.

Проколите сферу, тогда поговорим.

[bayak]

migmit в сообщении #441072 писал(а):

Да, пожалуй. Если вывод содержит термины, не имеющие определений, а "обоснования" не имеют к выводам никакого отношения – туда.

Вы не заметили замечание в скобках о том, что тема навеяна одной полемикой. Там речь шла об естественных топологиях, но без определений этого термина, а здесь я просто даю свою интерпретацию этого понятия.

Munin в сообщении #441126 писал(а):

Пусть формулы выложит, а тогда в "Пургаторий".

Формулы в разделе 1 (геометрия модели) статьи http://bayak.socionet.ru/files/nastya.pdf

Kallikanzarid в сообщении #441147 писал(а):

Проколите сферу, тогда поговорим.

А это ещё зачем, может быть Вы решили раскатать сферу на плоскость? Но в теме говорится не о стереографической проекции, а о том как сфера (тор) ограничивает произвол движения обёртывающей её плоскости до евклидовых (псевдоевклидовых) поворотов.

[Munin]

bayak в сообщении #441271 писал(а):

без определений этого термина

Если и здесь определений не воспоследует, я за "Пургаторий".

bayak в сообщении #441271 писал(а):

Формулы в разделе 1 (геометрия модели) статьи

Если их не больше чем полстраницы (чистых формул), приведите их здесь, пожалуйста.

bayak в сообщении #441271 писал(а):

Но в теме говорится не о стереографической проекции, а о том как сфера (тор) ограничивает произвол движения обёртывающей её плоскости до евклидовых (псевдоевклидовых) поворотов.

В теме ещё ни о чём не говорится, кроме той пары неясных слов, которую вы соизволили измолвить. Так что рассказывайте подробнее, что такое обёртывающая плоскость, что такое произвол движения и его ограничения.

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #441305 писал(а):

В теме ещё ни о чём не говорится, кроме той пары неясных слов, которую вы соизволили измолвить. Так что рассказывайте подробнее, что такое обёртывающая плоскость, что такое произвол движения и его ограничения.

+1, ретракции плоскости на сферу я еще не видел

[bayak]

Kallikanzarid в сообщении #441334 писал(а):

Munin в сообщении #441305 писал(а):

В теме ещё ни о чём не говорится, кроме той пары неясных слов, которую вы соизволили измолвить. Так что рассказывайте подробнее, что такое обёртывающая плоскость, что такое произвол движения и его ограничения.

+1, ретракции плоскости на сферу я еще не видел

Где вы увидели-то (при не сохранении компактности) ретракт? Как плоскость наматывается на сферу (тор) я вам словесно показал, произвольные движения плоскости это специальные (сохраняющие площадь) линейные преобразования, ограничения движений плоскости вызваны обёртыванием её вокруг сферы (тора). Если вас интересуют формулы, то намотка расписана в ранее указанной статье, а групповые свойства намотки рассматриваются в статье "О некоторых алгебро-топологических конструкциях на произведении сфер", которая находится в коллекции http://socionet.ru/collection.xml?h=repec:rus:gulthb. Впрочем, если не хотите видеть и смотреть, то можете поместить тему в "пургаторий". Обидно, да ладно.

[Kallikanzarid]

bayak в сообщении #441360 писал(а):

Где вы увидели-то (при не сохранении компактности) ретракт?

Однако!

[Munin]

bayak в сообщении #441360 писал(а):

Как плоскость наматывается на сферу (тор) я вам словесно показал

У вас вечная путаница между "показал", "покажу" и "так и не покажу". Извольте показать, и только после этого произносить "показал".

Если вы о

bayak в сообщении #441051 писал(а):

Пусть плоскость представлена совокупностью прямых, пересекающихся в одной отмеченной точке. Намотаем все эти прямые на сферу так, чтобы они отобразились в большие окружности сферы.

то здесь, как минимум, не указан смысл операции "намотаем все эти прямые на сферу так, чтобы они отобразились в большие окружности сферы" (я могу предположить несколько разных вариантов, например, $\varphi=x$ и $\varphi=2\arctg x$).

bayak в сообщении #441360 писал(а):

Если вас интересуют формулы, то намотка расписана в ранее указанной статье

Вы нарушаете принятые на этом форуме правила ссылок на внешние материалы. Приведите соответствующий отрывок здесь.

[Kitozavr]

bayak в сообщении #441051 писал(а):

Естественной топологией евклидовой плоскости (точнее, топологией, порождающей евклидову метрику) служит топология сферы.

А разве Евклидова геометрия работает не на плоскости?

[Munin]

У bayak-а - нет...

[bayak]

Kitozavr в сообщении #441393 писал(а):

А разве Евклидова геометрия работает не на плоскости?

Верно, на плоскости. Однако не исключено, что плоскость свернута в виде слоения, типичный слой которого имеет форму сферы. Если говорить об евклидовом пространстве, то тут надо говорить о 3-мерном слоении с типичным слоем в форме 3-мерной сферы.

-- Вт май 03, 2011 23:16:10 --

Munin в сообщении #441373 писал(а):

Вы нарушаете принятые на этом форуме правила ссылок на внешние материалы. Приведите соответствующий отрывок здесь.

Сейчас не могу, поскольку теховский файл пока мне не доступен. Что касается намотки, то берите вариант $e^{2\pi ix}$ и не ошибётесь.