Интегралы, зависящие от параметра

[Lina111]

Помогите, пожалуйста решить задание
Исследовать функцию F(a) на непрерывность на множестве Е
1) $F(a)=\int\limits_{0}^{1}\frac{\ln x}{\ (x-a)^2+4}dx$, где Е=R
2) $F(a)=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{\ dx}{\ sin^a x}$, где Е=[0, 1)

[ewert]

Непрерывность тривиальна в обоих случаях. Следует хотя бы из теоремы Лебега (в обоих случаях есть поточечная сходимость подынтегральной функции по параметру и есть суммируемая мажоранта).

[obar]

Возможно, имелась в виду равномерная непрерывность. Тогда во втором случае ее нет.

[ewert]

obar в сообщении #440595 писал(а):

Возможно, имелась в виду равномерная непрерывность. Тогда во втором случае ее нет.

Да, там её нет. Тогда, если доказывать по-сермяжному, то надо применить стандартный приём "эпсилон-пополам". Т.е. по любому заданному $\varepsilon>0$ выбрать такое $\alpha>0$, чтобы разность интегралов для $a$ и для $a_0$ по $[0;\;\alpha]\cup[\pi-\alpha;\;\pi]$ не превышала $\frac{\varepsilon}{2}$ для всех значений параметра $a$ из некоторой окрестности точки $a_0$ (т.е. достаточно, чтобы каждый такой интеграл не превышал $\frac{\varepsilon}{2}$, поскольку они все одного знака). Это возможно, если выбрать окрестность достаточно узкой; собственно, она должна быть просто отделена от единицы. А на оставшемся промежутке $[\alpha;\;\pi-\alpha]$ сходимость уже равномерна и, значит, можно выбрать настолько малую окрестность $a_0$, что интегралы для $a$ из этой окрестности и интеграл для $a_0$ по этому промежутку также различаются не более чем на $\frac{\varepsilon}{2}$.

[Lina111]

Да, доказать равномерную сходимость. И доказывается она с помощью признаков Вейерштрасса, Дирихле и Коши. Я думаю, что эти интегралы по Коши, потому что предел не до бесконечности. Но я не могу разобраться с этим признаком.

-- Пн май 02, 2011 16:53:15 --

И оба интеграла непрерывны получаются.