Возможно, имелась в виду равномерная непрерывность. Тогда во втором случае ее нет.
Да, там её нет. Тогда, если доказывать по-сермяжному, то надо применить стандартный приём "эпсилон-пополам". Т.е. по любому заданному

выбрать такое

, чтобы разность интегралов для

и для

по
![$[0;\;\alpha]\cup[\pi-\alpha;\;\pi]$ $[0;\;\alpha]\cup[\pi-\alpha;\;\pi]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/5/905c79fdb1557843d59323c3dd592caf82.png)
не превышала

для всех значений параметра

из некоторой окрестности точки

(т.е. достаточно, чтобы каждый такой интеграл не превышал

, поскольку они все одного знака). Это возможно, если выбрать окрестность достаточно узкой; собственно, она должна быть просто отделена от единицы. А на оставшемся промежутке
![$[\alpha;\;\pi-\alpha]$ $[\alpha;\;\pi-\alpha]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e144f20c3ec80463f6c5d77a2dc161a82.png)
сходимость уже равномерна и, значит, можно выбрать настолько малую окрестность

, что интегралы для

из этой окрестности и интеграл для

по этому промежутку также различаются не более чем на

.