Топология и квантовая механика

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #440325 писал(а):

А я и не говорил, что лежит. В чём оно лежит - вопрос интересный, но в другой раз. А то, что они есть, это факт, как его математически ни оформляй, поскольку для физики актуальная (и решаемая) задача их находить.

Это я просто прокоментировал фразу

"На кольце" спектр чисто дискретен, на прямой -- чисто непрерывен, о каком вообще "основном уровне" да и вообще об уровнях там можно говорить."

Математики считают, что коль гамильтониан определен на $L^2$, то собственных функций непрерывного спектра вообще нет. А сам этот непрерывный спектр определяют через резольвенту. В общем ну и бог с ними, пусть так считают

[Munin]

Где почитать?

[obar]

Alex-Yu в сообщении #440593 писал(а):

"На кольце" спектр чисто дискретен, на прямой -- чисто непрерывен, о каком вообще "основном уровне" да и вообще об уровнях там можно говорить."

Прочитайте внимательней формулировку задачи. Если не понятно - еще раз поясню. Рассматривается произвольный, но компактный (т.е. вне некоторого отрезка равный нулю) притягивающий потенциал на прямой и на кольце и сравнивается значение основного уровня (связанное состояние - дискретный спектр). Предположение - на кольце основной уровень всегда ниже. Теперь ясна формулировка?

[nestoklon]

Alex-Yu в сообщении #440593 писал(а):

Математики считают, что коль гамильтониан определен на $L^2$, то собственных функций непрерывного спектра вообще нет.

Во-первых, математики считают не совсем так. Точнее, то, что они считают, на русский переводится как строгое определение того, что такое эти самые функции непрерывного спектра. Рекомендую не читать старые книжки по матфизике, а попробовать почитать более-менее новые по фану.
Во-вторых, к вопросу это не имеет никакого отношения.

[nestoklon]

obar в сообщении #440629 писал(а):

Предположение - на кольце основной уровень всегда ниже. Теперь ясна формулировка?

В Вашей задаче топология не при чём. Для того, чтобы она стала "при чём" надо её как-то переформулировать.
Про "топологические инварианты" аналогично.

В принципе, порочность Ваших вопросов в том, что Вы хотите по топологии сказать что-то о значениях энергии. Это по меньшей мере странно, потому что значения энергии определяются отнюдь непатотопологическими свойствами потенциала, а его конкретными значениями.
Если и можно что-то сказать опираясь на топологию так это самые общие свойства спектра -- что-то глобальное вроде того, будет он непрерывным или дискретным.
А попытки придумать "эквивалентную" задачу с другой топологией не имеет в общем никакого отношения собственно к топологии.

[obar]

nestoklon в сообщении #440709 писал(а):

В Вашей задаче топология не при чём.

Очень даже причем (пояснения ниже).

nestoklon в сообщении #440709 писал(а):

значения энергии определяются отнюдь непатотопологическими свойствами потенциала, а его конкретными значениями.

Энергетический спектр определяется не только потенциалом, но и граничными условиями на в.ф. (а это уже топология). Волновая функция связанного состояния на кольце совершенно другая, чем для бесконечной прямой. Тем не менее, все измеряемые величины в пределе $R\rightarrow\infty$ переходят в аналогичные для прямой. А это, с моей точки зрения, удивительно и заслуживает рассмотрения (про аналогичный результат на сфере я совсем не уверен).

Чтобы не пояснять в сотый раз существо проблемы просьба всем, кого эта тема заинтерисует, прежде чем что-то писать попребуйте вначале посчитать хотя бы простейшую задачу - прямоугольная потенциальная яма на кольце и на прямой, сравнить спектры, посмотреть на поведение в.ф. в обеих случаях... В общем "прощупать" задачу. Думаю, тогда и большинство вопросов отпадет.

[nestoklon]

obar в сообщении #440730 писал(а):

но и граничными условиями на в.ф. (а это уже топология)

Это не топология. Это граничные условия. Для того чтобы это имело хоть какое-то отношение к "топологии", Вам надо продемонстрировать, чем периодические граничные условия качественно отличаются от любых других граничных условий. Тогда это будет обсуждением топологии. А пока что это попытки обсуждения особенностей двух конкретных наборов гранусловий.

(Оффтоп)

Я понимаю, что это слово которое было очень модным у математиков лет 40 назад стало очень модным у физиков и все кому не лень его употребляют. Очень противно когда это делают не по делу, лишь бы ввернуть модное словечко.

[obar]

nestoklon в сообщении #440737 писал(а):

Это не топология. Это граничные условия.

Не буду спорить. Вам, математикам, виднее. Но для меня, физика, прямоугольник с периодическими гран.условиями - суть то же, что и поверхность с топологией тора. Аналогично, изменяя гран.условия я могу получить топологии листа Мебиуса (мембраны Мубиуса), бутылку Клейна, цилиндр, сферу. Разные топологии получаются разным отождествлением точек на границе. А математический бурбакизм меня мало волнует. Не совсем строго - ну и бог с ним.

[nestoklon]

obar в сообщении #440742 писал(а):

Не буду спорить. Вам, математикам, виднее. Но для меня, физика, прямоугольник с периодическими гран.условиями - суть то же, что и поверхность с топологией тора. Аналогично, изменяя гран.условия я могу получить топологии листа Мебиуса (мембраны Мубиуса), бутылку Клейна, цилиндр, сферу. Разные топологии получаются разным отождествлением точек на границе. А математический бурбакизм меня мало волнует. Не совсем строго - ну и бог с ним.

1) Я как раз физик.
2) Если Вас не интересует математическая строгость, будьте добры не употреблять слов, значения которых не понимаете.
Никаким [плавным] изменением гранусловий другую топологию Вы не получите. А вот энергии состояний можно заработать и на отрезке какие угодно. Отсюда делаем вывод: топология тут -- "не пришей кобыле хвост".

[obar]

Уважаемый nestoklon, Ваши замечания провоцируют на грубость. Не буду отвечать Вам тем же, и не стану выяснять степень Вашего незнания предмета. Если Вам есть что сказать по существу - говорите; иначе зачем этот базар. Не нравится слово топология - выбросьте его, рассматривайте частицу на кольце.

От дальнейших пререканий я уклоняюсь.

[nestoklon]

obar в сообщении #440750 писал(а):

Если Вам есть что сказать по существу - говорите;

Я Вам указал на некорректность постановки задачи в первом комментарии адресованном Вам. Вы можете с этим не соглашаться -- это Ваше право. Но не надо в ответ "объяснять" мне тонкости формулировки проблемы. Лучше чётко сформулируйте задачу.
Давайте я ещё раз повторю. Берём прямую и начинаем плавно менять потенциал (так чтобы он оставался непрерывным и "хорошим" в смысле достаточно быстрого уменьшения на бесконечности). Что можно сказать о спектре? В общем, ничего кроме того что у спектра будет непрерывная часть. Потом проделываем то же самое с кольцом. Что можно сказать о спектре тут? Что он будет целиком дискретным. Вот это и есть свойство топологии. А конкретные значения энергии -- это свойства конкретного потенциала.
Если вы хотите обсуждать "один и тот же" потенциал "в разных топологиях" (на кольце и на прямой), Вам с необходимостью надо фиксировать правило по которому Вы делаете из потенциала на кольце потенциал на прямой. Таких правил может быть много. Для каждого из них будет свой ответ. При "естественном" (в моём понимании) расширении кольца до плоскости периодическом копированием потенциала спектр на кольце будет в точности воспроизводится спектром на прямой при фиксировании $k=0$.
И перечитайте ещё раз сообщение ewert.

[Bulinator]

Я тут подумал, а что знаичт

obar в сообщении #438421 писал(а):

с аналогичным уровнем на прямой

?
Ведь нельзя же напрямую обобщать потенциалы на прямой на случай окружности. Таких обобщений(совпадающий с потенциалом на прямой в пределе $r\mapsto\infty$) может быть сколько угодно. На многомерии не все даже будут точно решаемые. Простейшим примером является сферический осциллятор Хиггса, который, по-моему является единственным точно решаемым обобщением осциллятора на сфере.

Наоборот: потенциал на окружности
$U(\varphi)=\sum\limits_{k=1}^n{\frac{1}{\sin^2{k\varphi}}}$ не имеет плоского аналога.

Есть еще переменные действие-угол. Я понимаю, что под аналогом системы вы подразумеваете не совсем это, но с классической точки зрения переход к этим переменным- есть простое каноническое преобразование. Для одномерных систем с компактной и связной поверхностью уровня $H=Const$ они всегда существуют. Тогда любую систему на прямой, некоторым каноническим преобразованием, можно перетащить на окружность. На квантах, это надо делать осторожнее, но, если такое прямое перетаскивание проходит, то энергетические спектры совпадают.

[Munin]

nestoklon в сообщении #440745 писал(а):

Никаким [плавным] изменением гранусловий другую топологию Вы не получите.

Хм. $f(x_1)=af(x_2)+(1-a)f_1.$ И в каком месте у нас появляется другая топология: при $a=+0$ или при $a=1-0$?

[nestoklon]

Munin в сообщении #440819 писал(а):

Хм. $f(x_1)=af(x_2)+(1-a)f_1.$ И в каком месте у нас появляется другая топология: при $a=+0$ или при $a=1-0$?

Если Вы напишете больше, я может быть смогу ответить на Ваш вопрос. Что за функции, на чём они определены? Что есть $a$?

(Оффтоп)

Подозреваю, что ответ: "там где порвётся". Но я серьёзно не понял вопроса.

Да, из прямой, как её ни изгибай, окружность не получится. Когда например в ТФКП говорят о том, что прямая -- это та же окружность, для ясности заминается что в самом начале добавив точку на бесконечности из $\mathbb{C}$ мы сделали $\mathbb{CP}$ (см. например тут). Где в самом деле "прямая" это частный случай окружности.
Если Вы не хотите вдаваться в эти тонкости -- не вдавайтесь. Но тогда, пожалуйста, никакой топологии.

[ewert]

obar в сообщении #440629 писал(а):

Рассматривается произвольный, но компактный (т.е. вне некоторого отрезка равный нулю) притягивающий потенциал на прямой и на кольце

Вот так прямо бы и сказали с самого начала: что берётся некий финитный (а вовсе не компактный) потенциал на всей оси и потом охватывающий его носитель отрезок сворачивается в кольцо. Тогда задачка и впрямь осмысленна.

И ответ достаточно очевиден. Естественно, низший уровень (да и вообще все) для оператора на оси лежат выше соотв. уровней для кольца. (Разумеется, речь лишь об отрицательных уровнях, поскольку спектр оператора на оси для неотрицательных энергий непрерывен и там сама постановка вопроса бессмысленна.)

А почему. Потому, что любая собственная функция оператора на оси (т.е. отвечающая некоторому отрицательному собственному значению) является одновременно и собственной функцией того же формально оператора, но действующего на разорванном отрезке с соотв. граничными условиями третьего типа на концах. Так вот: если выписать квадратичную форму последнего оператора, то она будет содержать, помимо интегрального слагаемого, ещё и явно положительные внеинтегральные члены. В то время как форма для оператора на кольце (т.е. с периодическими граничными условиями) никаких таких членов содержать не будет и, значит, окажется меньше.