Топология и квантовая механика

[obar]

Меня заинтерисовал вопрос о влиянии топологии на свойства квантовой системы. Начну пока с одномерия (частица в кольце).
Тут я рассматривал два вопроса:
1. Как влияет топология на уровни энергии. Прямое вычисление уровней энергии на кольце для разных потенциалов показывает, что основной уровень всегда понижается в сравнении с аналогичным уровнем на прямой (сразу замечу, что для неосновного уровня такой вывод сделать нельзя, например, для потенциальной ямы нечетные уровни повышаются). Строгого доказательства этому я пока не нашел, есть лишь "правдоподобные рассуждения".
2. "Топологический инвариант". Хотелось бы найти такую наблюдаемую величину, для которой предельный переход к случаю кольца бесконечного радиуса не сводился бы к аналогичной величине на прямой. В качестве кандидата рассматравалась вероятность обнаружить частицу вне ямы для связанного состояния. В случае прямой волновая функция вне ямы - затухающие экспоненты. Для кольца это решение не проходит: его нельзя "сшить". Внешнее решение на кольце содержит кроме затухающих еще и нарастающие экспоненты. Вот и была надежда, что распределение вероятности в предельном случае будет другим. Вычисления показали, что это не так. Может можно доказать общее утверждение, что любая наблюдаемая на кольце в пределе переходит в аналогичную величину на прямой? Доказать это мне не удалось.

Все эти доказательства были бы не сложны, если бы был применим метод теории возмущений. Но полный базис на прямой не подходит для кольца (в случае связанных состояний).

[Munin]

Может, заполнив прямую копиями кольца, удастся ближе подобраться к доказательствам?

[obar]

Именно так я и делал, когда говорил о "правдоподобных рассуждених". Но я не могу понять, почему это рассмотрение не проходит для других уровней.

[Munin]

Вспомните, как в кристалле образуется энергетическая щель.

[BISHA]

obar в сообщении #438421 писал(а):

Строгого доказательства этому я пока не нашел, есть лишь "правдоподобные рассуждения".

В кольце крайние точки соединены (?) и у них потенциал одинаков. Если это так, то потенциал кольца во всех его точках одинаков. А иначе точки с одинаковым потенциалов должны двигаться по кольцу?

[Munin]

BISHA в сообщении #438688 писал(а):

Если это так, то потенциал кольца во всех его точках одинаков.

Бред.

[obar]

Munin в сообщении #438655 писал(а):

Вспомните, как в кристалле образуется энергетическая щель.

Вспомнил. И при чем здесь это? Спектр частицы на кольце дискретный, никаких зон нет. Этот спектр является частью спектра кристалла, отвечающий состояниям с периодической в.ф. (состояния с нулевым квазиимпульсом).

[Munin]

obar в сообщении #438743 писал(а):

Вспомнил. И при чем здесь это?

Мне кажется, движение уровней вверх и вниз аналогично тому, как расходятся уровни на краях щели. Напомню, щель приходится не только на максимальный, но и на нулевой квазиимпульс.

[Alex-Yu]

BISHA в сообщении #438688 писал(а):

obar в сообщении #438421 писал(а):

Строгого доказательства этому я пока не нашел, есть лишь "правдоподобные рассуждения".

В кольце крайние точки соединены (?) и у них потенциал одинаков. Если это так, то потенциал кольца во всех его точках одинаков. А иначе точки с одинаковым потенциалов должны двигаться по кольцу?

Вот вам (самый) простой пример потенциала на кольце, кторый не постоянен: $U=sin(n\phi)$. А также любая линейная комбинация таких потенциалов с разными целыми n. Можно еще аналогичные косинусы добавить

-- Пт апр 29, 2011 16:50:13 --

obar в сообщении #438743 писал(а):

Спектр частицы на кольце дискретный, никаких зон нет. Этот спектр является частью спектра кристалла, отвечающий состояниям с периодической в.ф. (состояния с нулевым квазиимпульсом).

Ну да, расказывайте басни.... В реальном конечном кристалле, кстати, спектр тоже дискретный. А зоны тем не менее есть:-)

[obar]

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #439914 писал(а):

Ну да, расказывайте басни....

Бросайте физику, займитесь сельским хозяйством.

Волновые функции в кристалле не обязательно периодичны (см. теорему Блоха). На кольце же в.ф., разумеется, периодична. Именно поэтому спектр на кольце дискретный (хотя в бесконечном кристалле непрерывный, с зонами).

Потенциал можно брать любой, например - прямоугольная яма или $\delta$-функция.

[Alex-Yu]

obar в сообщении #439952 писал(а):

хотя в бесконечном кристалле непрерывный, с зонами

Бесконечных кристаллов не бывает. Все реальные кристаллы конечны. В зонах спектр, строго говоря, дискретный (не непрерывный, а лишь квазинепрерывный). Вообще непрерывный спектр возможен только при инфинитном движении.

[ewert]

obar в сообщении #438421 писал(а):

Прямое вычисление уровней энергии на кольце для разных потенциалов показывает, что основной уровень всегда понижается в сравнении с аналогичным уровнем на прямой

Вы сравниваете... ну в общем что-то с чем-то неприличным. "На кольце" спектр чисто дискретен, на прямой -- чисто непрерывен, о каком вообще "основном уровне" да и вообще об уровнях там можно говорить.

Можно, например, сравнивать уровни для кольца с уровнями для отрезка, получающегося разрывом этого кольца (и с тем же потенциалом). Тогда все уровни для кольца будут лежать ниже, чем для отрезка (если граничные условия на волновую функцию на концах отрезка нулевые).

Или ещё чего-нибудь можно. Но сначала лучше поставить всё-таки задачу.

[Munin]

Alex-Yu
Банальщину не относящуюся к делу не пишите.

ewert в сообщении #440212 писал(а):

Вы сравниваете... ну в общем что-то с чем-то неприличным.

Это для вас так, а для физики вполне нормальный вопрос.

ewert в сообщении #440212 писал(а):

"На кольце" спектр чисто дискретен, на прямой -- чисто непрерывен, о каком вообще "основном уровне" да и вообще об уровнях там можно говорить.

Собственные состояния оператора энергии, и наименьшее собственное значение из них.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #440243 писал(а):

Собственные состояния оператора энергии, и наименьшее собственное значение из них.

Сейчас Вам математики скажут, что в непрерывном спектре нет собственных функций и собственных значений. Ибо то, что мы, физики, называем собственными функциями непрерывного спектра, не лежит в $L^2$.

[Munin]

А я и не говорил, что лежит. В чём оно лежит - вопрос интересный, но в другой раз. А то, что они есть, это факт, как его математически ни оформляй, поскольку для физики актуальная (и решаемая) задача их находить.