Переходные процессы в линейных электрических цепях

[Merkader]

Здравствуйте.
Выполняю задание для домашней контрольной работы по предмету теория электрических цепей. При решении задачи получаю явно неверные ответы, но исправить ошибки не получается. Буду благодарна за помощь.

В задании нужно рассчитать классическим методом переходные процессы по току в индуктивности i_1(t) и по напряжению на ёмкости u_c(t).
Условие задачи:
Е=125 В,
w=10000 рад/с,
R1=77 Ом,
R2=40 Ом,
R3=32 Ом,
L=22 мГн,
C=0.7 мкФ,
e=100sin10^4t В.
Извините, не могу разобраться как вставить изображение. Вот изначальная схема цепи:
http://freespace.by/download/547a6de677

Решение:
Делаю рассчёт напряжения на ёмкости и тока в индуктивности до коммутации.
Реактивное сопростивление индуктивности:
X_L=\omega L=10^4\cdot 22\cdot 10^{-3}=220 Ом
Реактивное сопростивление ёмкости:
X_C= \frac {1} {\omega C}=\frac {1} {10^4\cdot0.7\cdot10^{-6}}=142.857 Ом
Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
Z=r_2+\frac {jX_L(r_3-jX_C)} {jX_L+r_3-jX_C}=40+\frac {j220(32-j142.857)} {j220+32-j142.857}=410.148e^{-j50.275}
Комплексная амплитуда тока в цепи
I_{2m}=\frac {E_m} {Z}=\frac {100} {410.148e^{-j50.275}}=0.244e^{j50.275} А
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью
I_{1m}=I_{2m}\frac {r_3-jX_C} {jX_L+r_3-jX_C}=0.244e^{j50.275}\frac {32-j142.857} {j220+32-j142.857}=0.428e^{-j94.57} А
Комплексная амплитуда тока в ветви с ёмкостью:
I_{m3}=I_{2m}\frac {jX_L} {r_3-jX_C+jX_L}=0.244e^{j50.275}\frac {j220} {32-j142.857+j220}=0.643e^{j72.804} А
Положим t=0-
Величина тока в индуктивности перед коммутацией:
i_1(0-)=0.428\sin(-94.57^o)=-0.427 А
По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком
i_1(0-)=i_1(0+)=-0.427 А
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости:
U_{Cm}=I_{3m}(-jX_C)=0.643e^{j72.804}(-j142.857)=91.857e^{-j17.196 В
По законам коммутации напряжение на ёмкости не может измениться скачком
u_c(0-)=u_c(0+)
Величина напряжения на ёмкости перед коммутацией:
u_c=91.857\sin(10^4t-17.196^o)

-- Ср апр 27, 2011 17:36:25 --

Положим t=0-, тогда u_c(0-)=91.857\sin(-17.196^o)=-27.157 В
Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определяются по схеме после коммутации
По законам Кирхгофа составляю уравнения:
{i_1(t)-i_2(t)+i_3(t)=0
$L\frac {di_1(t)} {dt}+i_1(t)r_1+i_2(t)r_2=0$
$i_2(t)r_2+\frac {1} {C}\int_{0}^{t}{i_3(t)dt} + i_3(t)r_3 =0$

i_1(t)=i_2(t)-i_3(t)
$L(\frac {di_2(t)} {dt}-\frac {di_3(t)} {dt})+r_1(i_2(t)-i_3(t))+r_2i_2(t)=0$
$i_2(t)r_2=-\frac {1} {C}\int_{0}^{t}{i_3(t)dt} - i_3(t)r_3$

i_1(t)=i_2(t)-i_3(t)
$L\frac {di_2(t)} {dt}+r_1i_2(t)+r_2i_2(t)-L\frac {di_3(t)} {dt}-r_1i_3(t)=0$
$i_2(t)=-\frac {1} {r_2C}\int_{0}^{t}{i_3(t)dt} - \frac {r_3} {r_2}i_3(t)$

$L(-\frac {i_3(t)} {r_2C}-\frac {r_3} {r_2}\frac {di_3(t)} {dt})-\frac {r_1} {r_2C}\int_{0}^{2}{i_3(t)dt}-\frac {r_1r_3} {r_2}i_3(t)-\frac {1} {C}\int_{0}^{t}{i_3(t)dt}-r_3i_3(t)-L\frac {di_3(t)} {dt}-r_1i_3(t)=0$
Дифференциирую
$L(\frac {r_3} {r_2}+1)\frac {d^2i_3(t)} {dt^2}+(\frac {L} {r_3C}+\frac {r_1r_3} {r_2}+r_3+r_1)\frac {di_3(t)} {dt}+\frac {1} {C}(\frac {r_1} {r_2}+1)i_3(t)$
Составляю характеристическое уравнение, подставляю значения. Корни этого уравнения:
$p_1=-4231$
$p_2=-24854$
Вот здесь я ошиблась? Пересчитываю, но пока не нахожу ошибки. Ошибка обнаруживается при дальнейших вычислениях и построении графика. Что не так?

[Merkader]

вот начальные условия задачи

[profrotter]

Предлагаю показать схему до коммутации и после коммутации. На схемах поставить условно-положительные направления и обозначения токов и напряжений, которые вы рассчитываете. А то, знаете, не понятно, например, где у вас протекает ток $i_3$ и тп. Принуждённая составляющая процесса у вас будет равна нулю, так как источник отключается при коммутации, а цепь содержит резистивные элементы. Имею предположение, что выше (в добавленном сообщении) вы ищете всё-таки свободную составляющую.

[Merkader]

Не могу разобраться, как отредактировать прежнее сообщение, так что начну заново.

В задании нужно рассчитать классическим методом переходные процессы по току в индуктивности i_1(t) и по напряжению на ёмкости u_c(t).
Условие задачи:
Е=125 В,
w=10000 рад/с,
R1=77 Ом,
R2=40 Ом,
R3=32 Ом,
L=22 мГн,
C=0.7 мкФ,
e=100sin10^4t В.
Ключ К2 должен находиться в положении 1. Коммутация происходит путём размыкания ключа К1.


Решение:

Схема для рассчёта цепи до коммутации будет выглядеть вот так:

По ней и определим независимые начальные условия

Делаю рассчёт напряжения на ёмкости и тока в индуктивности до коммутации.
Реактивное сопростивление индуктивности:
X_L=\omega L=10^4\cdot 22\cdot 10^{-3}=220 Ом
Реактивное сопростивление ёмкости:
X_C= \frac {1} {\omega C}=\frac {1} {10^4\cdot0.7\cdot10^{-6}}=142.857 Ом
Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
Z=r_2+\frac {jX_L(r_3-jX_C)} {jX_L+r_3-jX_C}=40+\frac {j220(32-j142.857)} {j220+32-j142.857}=410.148e^{-j50.275}
Комплексная амплитуда тока в цепи определяется по закону Ома
I_{2m}=\frac {E_m} {Z}=\frac {100} {410.148e^{-j50.275}}=0.244e^{j50.275} А
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью
$I_{1m}=I_{2m}\frac {r_3-jX_C} {jX_L+r_3-jX_C}=0.244e^{j50.275}\frac {32-j142.857} {j220+32-j142.857}=0.428e^{-j94.57}$ А
Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью
$i_1(t)=0.428\sin(10^4t-94.57^o)$
Положим t=0-
Величина тока в индуктивности перед коммутацией:
$i_1(0-)=0.428\sin(-94.57^o)=-0.427$ А
По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком
$i_1(0-)=i_1(0+)=-0.427$ А
Комплексная амплитуда тока в ветви с ёмкостью:
$I_{m3}=I_{2m}\frac {jX_L} {r_3-jX_C+jX_L}=0.244e^{j50.275}\frac {j220} {32-j142.857+j220}=0.643e^{j72.804}$ А
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости по закону Ома:
$U_{Cm}=I_{3m}(-jX_C)=0.643e^{j72.804}(-j142.857)=91.857e^{-j17.196$ В
По законам коммутации напряжение на ёмкости не может измениться скачком
$u_c(0-)=u_c(0+)$
Величина напряжения на ёмкости перед коммутацией:
$u_c=91.857\sin(10^4t-17.196^o)$
Положим t=0-, тогда $u_c(0-)=91.857\sin(-17.196^o)=-27.157$ В
Принужденные составляющие тока в индуктивности и напряжения на ёмкости определяются по схеме после коммутации

Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
$Z=r_2+\frac {(r_1+jX_L)(r_3-jX_C)} {r_1+jX_L+r_3-jX_C}=$
$=40+\frac {(77+j220)(32-j142.857)} {77+j220+32-j142.857}=40+255.533^{-j41.952}=286.668e^{-j36.608}$ Ом
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью:
$I_{1m}=I_{2m}\frac {r_3-jX_C} {jX_L+r_1+r_3-jX_C}=$
$=0.349e^{j36.608}\frac {32-j142.857} {j220+77+32-j142.857}=0.383e^{-j76.054}$ А
Мгновенное значение тока в индуктивности (принуждённая составляющая)
$i_{1np}=0,383\sin(10^4t-76,054)$
Комплексная амплитуда тока в цепи с ёмкостью:
$I_{3m}=I_{1m}\frac {jX_L+r_1} {r_3-jX_C}=$
$=0,383e^{-j76,054}\frac {j220+77} {32-j142,857}=0,61e^{j72,03}$ А
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости по закону Ома
$U_{Cm}=I_{3m}(-jX_C)=0,61e^{j72,03}(-j142,857)=87,143e^{-j17,97}$ В
Мгновенное значение напряжения на ёмкости (искомая принужденая составляющая)
$U_{Cnp}=87,143\sin(10^4t-17,97)$ В
Для составления характеристического уравнения, замыкаю накоротко зажимы источника ЭДС, разрываю цепь с ёмкостью. Комплексное сопротивление относительно разрыва:
$Z(j\omega)=r_3+\frac {1} {j\omega C}+\frac {r_2(r_1+j\omega L)} {r_2+r_1+j\omega L}$
Положим $j\omega=p$, тогда
$Z(p)=r_3+\frac {1} {p C}+\frac {r_2(r_1+p L)} {r_2+r_1+p L}$
приравниваю к нулю Z(p)=0
$CL(r_3+r_2)p^2+(r_2r_3C+r_1r_3C+L+r_1r_2C)p+r_1+r_2=0$
$p^2+24149,361p+105519480,5=0$
корни уравнения:
$p_1=-18421,194$
$p_2=-5728,156$
Свободная составляющая переходного процесса
$i_{1sv}(t)=A_1e^{p_1t}+A_2e^{p_2t}$
Полный переходный ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих
$i_{1}(t)=0,428\sin(10^4t-94,57)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$ А
дифференциирую это выражение
$\frac {di_1(t)} {dt}=0,428\cdot10^4\cos(10^4t-94,57)-18421A_1e^{-18421t}-5728A_2e^{-5728t}$
Положим t=0+, тогда
${i_1(0+)=0,428\sin(-94,57)+A_1+A_2$
$\frac {di_1(0+)} {dt}=0,428\cdot10^4\cos(-94,57)-18421A_1-5728A_2$
Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составляю систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t=0+ послекоммутационной схемы.
$r_2i_2(0+)+u_C(0+)+r_3i_3(0+)=e(0+)$
$r_2i_2(0+)+L\frac {di_1(0+)} {dt}+r_1i_1(0+)=e(0+)$
$i_2(0+)=i_1(0+)+i_3(0+)$

ранее мной уже были найдены значения $u_C(0+)=-27,157$ В и $i_1(0+)=-0,427 А, а e(0+)=0$
ох и замучалась я всё расписывать... из этой системы нахожу, что
$\frac {di_1(0+)} {dt}=1153,768$ А/с

подставляю значения, получаю
$-0,427=0,428\sin(-99,57)+A_1+A_2$
$1153,768=0,428\cdot10^4\cos(-94,57)-18421A_1-5728A_2$

отсюда нахожу
$A_1=-0,118$
$A_2=0,117$
Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности
$i_1(t)=0,428\sin(10^4t-94,57)-0,118e^{-18421t}+0,117e^{-5728t}$

$u_C(t)=u_{Cnp}(t)+u_{Csv}(t)$

$u_C(t)=91,857\sin(10^4t-17,196)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$
$\frac {du_C(t)} {dt}=91,857\cdot10^4\cos(10^4t-17,196)-18421A_1e^{-18421t}-5728A_2e^{-5728t}$

положим t=0+
$u_C(0+)=91,857\sin(-17,196)+A_1+A_2$
$\frac {du_C(0+)} {dt}=91,857\cdot10^4\cos(-17,196)-18421A_1-5728A_2$

Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к зависимым условиям
$\frac {du_C(0+)} {dt}=\frac {i_3(0+)} {C}$
из ранее составленых по правилам Кирхгофа уравнений нахожу, что
$i_3(0+)=\frac {e(0+)} {r_3}-\frac {u_C(0+)} {r_3}-\frac {e(0+)} {r_3}+\frac {L} {r_3}\frac {di_1(0+)} {dt}+\frac {r_1} {r_3}i_1(0+)=$
$=-\frac {-27,157} {32}+\frac {22\cdot10^{-3}} {32}\cdot1153,768+\frac {77} {32}(-0,427)=0,614$
отсюда
$\frac {du_c(0+)} {dt}=\frac {i_3(0+)} {C}=\frac {0,614} {0,7\cdot10^{-6}}=877718,253$ В/с
м-да... слишком большая цифра. Уже ошиблась где-то. Что же делать... доведу мысль до конца и буду искать ошибки.

подставляю значения в систему
-27,157=-27,157+A_1+A_2
877718,253=877509,006-18421A_1-5728A_2

отсюда нахожу
A_1=-0,017
A_2=0,016

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости вышло вот какое
$u_c=91,857\sin(10^4t-17,196)-0,016e^{-18421t}+0,015e^{-5728t}$

Ну а с графиками напряжения и тока совсем беда. Какой-то каламбур! Не получаются они у меня такими, какими, как мне кажется, они должны быть

[profrotter]

Громоздкая штука. Конечно перепроверять все ваши расчёты никто не будет. Я глянул пока не надоело - ошибок не увидел. Когда составляете характеристическое уравнение, рациональней разорвать цепь в точке подключения источника, так как комплексное входное сопротивление относительно этих точек вы уже записали. Но это детали. Что вас не устраивает в графиках? Собственные процессы будут заметны только в пределах первого периода колебаний источника (период $T=6,28\cdot 10^{-4} c$, бОльшая постоянная времени $\tau=\frac {1} {5728}\approx 1,7\cdot 10^{-4} c$), носят апериодический характер. Вы график на каком временном интервале наблюдаете? Попробуйте посмотреть его на интервале $[0,5T]$ (то есть 5 периодов частоты воздействия) да и покажите что там вас не устраивает.

[Merkader]

Да вычисления -- это моя проблема. Мне нужна только помощь в правильности хода мыслей. Цифры сама проверю. Я их привела только для того, что бы можно было сказать, что мне не нравится. Вот производная напряжения на ёмкости у меня большая -- это не странно?

[Merkader]

график тока должен быть похож на вот это:

но то что я вычерчиваю карандашом в тетради даже близко не напоминает нужный мне рисонуок. Так может быть из-за неверных вычислений?
С напряжением та же беда

[Merkader]

свободная составляющая тока на столько мала, что никакой синусоиды не получается. Принужденная составляющая почти сразу равна моему току

[profrotter]

Merkader в сообщении #439329 писал(а):

Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью
$i_1(t)=0.428\sin(10^4t-94.57^o)$

Мгновенное значение тока в индуктивности (принуждённая составляющая)
$i_{1np}=0,383\sin(10^4t-76,054)$

Полный переходный ток в индуктивности равен сумме принуждённой и свободной составляющих
$i_{1}(t)=0,428\sin(10^4t-94,57)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$ А

Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности
$i_1(t)=0,428\sin(10^4t-94,57)-0,118e^{-18421t}+0,117e^{-5728t}$

А вот тут посмотрите вы же перепутали принуждённый ток и ток стационарного режима до куммутации. Должно быть:
$i_{1}(t)=0,383\sin(10^4t-76,054)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$ А

Merkader в сообщении #439329 писал(а):

Величина напряжения на ёмкости перед коммутацией:
$u_c=91.857\sin(10^4t-17.196^o)$

Мгновенное значение напряжения на ёмкости (искомая принужденая составляющая)
$U_{Cnp}=87,143\sin(10^4t-17,97)$ В

$u_C(t)=u_{Cnp}(t)+u_{Csv}(t)$

$u_C(t)=91,857\sin(10^4t-17,196)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$

Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости вышло вот какое
$u_c=91,857\sin(10^4t-17,196)-0,016e^{-18421t}+0,015e^{-5728t}$

И тут тоже:
$u_C(t)=87,143\sin(10^4t-17,97)+A_1e^{-18421t}+A_2e^{-5728t}$

Что касается графика, то он никому ничего не должен - это раз.
В общем случае токи и напряжения при переходном процессе могут отличаться от стационарных значений как угодно сильно. А также при гармоническом воздействии на цепь второго порядка возможен режим, когда свободных процессов не будет вообще, несмотря на то, что коммутация имеет место. Словом может быть всё что угодно.
Думаю все расчёты надо повторить, например, в Маткаде или ему подобных, а графики вычерчивать не в тетрадке, а строить в том же Маткаде!

[Merkader]

Спасибо огромное!
Ошибки исправила.
Сражаюсь с другой задачей по этому же предмету.