Тригонометрическое неравенство

[I want to get five]

Как оптимальный способ решения такого неравенства?)

$\dfrac{\cos x+1}{2\sin x+\sqrt 2}<0$ ; $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{7\pi}{2}$

Я сделал методом интервалов.

$\cos x=-1$ => $x=\pi k$

$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ => $x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$k,n$ -- Целые числа, а какие именно еще нужно определить)

1) $k=n$?

Собственно на окружности это будет выглядеть так



Тогда у нас 2 полых оборота $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{7\pi}{2}$.

2) Каким способом можно осуществить метод интервалов (или решить иным спсобом), кроме подстановки конкретных значений?))

[gris]

Числитель положителен везде, кроме найденной Вами точки. Да и она не нужна окажется. То есть осталось разобраться только со знаменателем. Я бы и делал на круге, аккуратно расставив точки. Кстати, там только один оборот.

[I want to get five]

gris в сообщении #440385 писал(а):

Числитель положителен везде, кроме найденной Вами точки. Да и она не нужна окажется. То есть осталось разобраться только со знаменателем. Я бы и делал на круге, аккуратно расставив точки. Кстати, там только один оборот.

Точно, спасибо=) То есть, чтобы определить знаки -- нужно подставить значения из каждой области или есть другой способ?!

Тогда нужен пример, где числитель меняет знак) Вот такой думаю подойдет

$\dfrac{\cos x}{2\sin x+\sqrt 2}<0$ ; $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{7\pi}{2}$

Как тут быть? ТОчно также? есть ли еще способы)

P.S. Точно ведь, оборот только один)

[ewert]

gris в сообщении #440385 писал(а):

Да и она не нужна окажется.

Нужна: её (в смысле одну из них двух) придётся выкалывать. А так -- да, конкретно это неравенство проще всего формально свести к двум системам неравенств, которые мгновенно вырождаются в одну простенькую системку.

[gris]

Я же говорю, что окажется. Неравенство нестрогое и в хорошую сторону. И точка одна.
Ой, я не написал, что имею в виду числитель. Точка $3\pi$.
А с методом интервалов тут подстановки, да. Ведь есть двойные корни и по хорошему надо объяснять подробно. А зачем?

Во втором примере уже можно и интервалами, но я бы не морочился и нарисовал бы график числителя и знаменателя. Другое дело, что обосновывать всё-равно придётся. Тут уже будет чередование знаков при переходе через нули Ч и З. Но это тоже не все считают строгим. Я бы решал, если на вступительных, через графики, а записывал решение через систему неравенств. Оно построже будет.

[I want to get five]

Спасибо, gris!
А что означает это?!

Цитата:

при переходе через нули Ч и З

[ewert]

gris в сообщении #440397 писал(а):

Я же говорю, что окажется.

А, да, я знак перепутал.

I want to get five в сообщении #440391 писал(а):

Вот такой думаю подойдет

$\dfrac{\cos x}{2\sin x+\sqrt 2}<0$ ; $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{7\pi}{2}$

У Вас же полный оборот получился.

I want to get five в сообщении #440391 писал(а):

Как тут быть?

Начать наконец решать. У Вас же рисунок правильный (или, как минимум, намекает на правильный).

[gris]

Со знаками в методе интервалов нужно обращаться осторожно. В общем, чередование их при переходе через точки разбиения надо обосновывать, и в школе это делают только для полиномов, да и то с однократными корнями. Но для чернового решения метод интервалов, конечно, очень эффективен, если в нём не запутаться ненароком.

[spaits]

I want to get five в сообщении #440382 писал(а):

Как оптимальный способ решения такого неравенства?)

$\dfrac{\cos x+1}{2\sin x+\sqrt 2}<0$ ; $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{7\pi}{2}$

Я сделал методом интервалов.

$\cos x=-1$ => $x=\pi k$

$\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ => $x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$

$k,n$ -- Целые числа, а какие именно еще нужно определить)

1) $k=n$?

Собственно на окружности это будет выглядеть так



Тогда у нас 2 полых оборота $\dfrac{3\pi}{2} \le x \le \dfrac{7\pi}{2}$.

2) Каким способом можно осуществить метод интервалов (или решить иным спсобом), кроме подстановки конкретных значений?))

Метод интервалов не нужен. Числитель $\cos x+1$ не может быть отрицательным ни при каких значениях $x$. Значит, осталось рассмотреть случай, когда числитель положителен, знаменатель отрицателен. Числитель положителен при всех $x$, за исключением точек, в которых $cosx=-1$. Эти точки нужно исключить, и еще необходимо условие, что знаменатель меньше нуля. Это условие: $\frac{5\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{4}+2\pi n$, $n$ принадлежит $Z$. В этих интервалах $\cos x+1$ не равен нулю. Из ответа теперь нужно выбрать интервалы, удовлетворяющие условию $\frac{3 \pi}{4}<x<\frac{7 \pi}{4}$. При $n=0$ этому условию удовлетворяет половина интервала и при $n=1$ тоже половина интервала.
Вам осталось написать ответ, всего два интервала.

-- Сб апр 30, 2011 18:38:27 --

Не хочу подсказывать. Можете для наглядноти нарисовать новый чертеж (два чертежа, на которых обозначить эти интервалы).

-- Сб апр 30, 2011 19:09:37 --

Приведенное мною решение и есть полное решение неравенства, осталось написать только ответ.

[I want to get five]

Спасибо!

$x \in[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{7\pi}{4}]\cup[\dfrac{15\pi}{8};\dfrac{7\pi}{2}]$

[spaits]

I want to get five в сообщении #440464 писал(а):

Спасибо!

$x \in[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{7\pi}{4}]\cup[\dfrac{15\pi}{8};\dfrac{7\pi}{2}]$

Исправьте ошибки. Неравенство строгое, поэтому точки $\dfrac{7\pi}{4}$ и $\dfrac{15\pi}{4}$ не входят в ответ. Только эти две точки. Там нужны круглые скобки вместо квадратных. И $8$ у Вас опечатка.

-- Сб апр 30, 2011 20:32:23 --

Точки $\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{7\pi}{2}$ входят в ответ, там квадратные скобки правильно.
Кроме того, когда будете переписывать мое решение для преподавателя, не забудьте написать само неравенство, что числитель меньше нуля: $2\sin x+\sqrt2<0$; $\sin x<-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

[ewert]

gris в сообщении #440424 писал(а):

Со знаками в методе интервалов нужно обращаться осторожно.

Но не в этом случае. В этом случае метод интервалов вообще противопоказан.

Тут надо тупо через системы:

$\begin{cases}\cos x+1>0\\2\sin x+\sqrt2<0\end{cases}$ или $\begin{cases}\cos x+1<0\\2\sin x+\sqrt2>0\end{cases}$;

вторая система, естественно, отпадает из-за невозможности верхнего неравенства, а в первой верхнее неравенство вырождается в просто $\cos x\neq-1$, т.е. $x\neq\pi+2\pi k$. Нижнее же: $\sin x<-\frac{\sqrt2}{2}$ -- числится по разряду стандартных, и выписывать его решение можно как угодно: хоть по кружочку (что предпочтительно), хоть методом "а мне вот так марьванна сказала, зуб даю!".

----------------------------------------------
Собственно, через системы в подобных случаях надо всегда -- всегда, когда знак или числителя, или знаменателя очевиден или хотя бы почти очевиден. Надо только не забыть не прозевать возможные особые случаи. Даже когда они не сказываются на результате (как сейчас) -- надо не забыть упомянуть об их возможности, иначе баллы срежут (во всяком случае, обязаны срезать), независимо от правильности ответа.

[spaits]

ewert написал то же самое, что я, только другими словами.

[ewert]

(Оффтоп)

spaits в сообщении #440476 писал(а):

ewert написал то же самое, что я, только другими словами.

простите, не заметил. Однако же, справедливости ради, я (в данном конкретном случае) -- краше. Ибо систематичнее.

[spaits]

ewert в сообщении #440478 писал(а):

(Оффтоп)

spaits в сообщении #440476 писал(а):

ewert написал то же самое, что я, только другими словами.

простите, не заметил. Однако же, справедливости ради, я (в данном конкретном случае) -- краше. Ибо систематичнее.

Не сомневаюсь, что Вы написали лучше. Я пояснила для топикстартера.