Ряды

[RIP]

Задачка, конечно, совсем простая, но уж больно результат симпатичный.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4+n^2+1}=\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2+n+1}$$

[Руст]

Да, задача очень простая:
$\frac{1}{n^4+n^2+1}=\frac{1}{2}\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{1}{2}(f(n)-f(n-1), \ f(n)=\frac{n}{n^2+n+1}$.
Так как f(0)=0, и f(n) стремится к нулю, сумма второй части равна 0.
На самом деле можно вычислить и точное значение суммы.

[RIP]

Ну зачем же так сразу? Дали бы порешать другим
Тогда вот еще задачка.
Пусть $a_n>0$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$. Докажите, что

$$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\tfrac1n}<\infty$$

[Руст]

А разве это не следует сразу из того, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

[RIP]

Следует, но не совсем сразу. Чем решать простые задачи, запостили бы еще какую-нибудь интересную задачу.

[Три А,да]

Вот вам задача:Доказать,что расходящаяся гармоническая последовательность 1/n
полностью представима в виде суммы бесконечного числа сходящихся последовательностей.

[Brukvalub]

Три А,да писал(а):

Вот вам задача:Доказать,что расходящаяся гармоническая последовательность 1/n
полностью представима в виде суммы бесконечного числа сходящихся последовательностей.

Может, речь идет о рядах? Иначе утверждение выглядит несколько странновато.

[RIP]

Кажется, я чего-то не понимаю. Насколько я понял, надо написать нечто вроде

$$\frac1n=\sum_{k=1}^{\infty}a^{(k)}_n,$$

чтобы для каждого $k$ ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}a^{(k)}_n$$

сходился. Но это совершенно тривиально. Достаточно взять

$$a^{(k)}_n=\begin{cases}\frac1k,&n=k;\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases} $$

[Юстас]

RIP писал(а):

Пусть $a_n>0$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n<\infty$. Докажите, что

$$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\ldots a_n)^{\tfrac1n}<\infty$$

Задачка-то крепкая оказалась, вот тут нашел http://mathworld.wolfram.com/CarlemansInequality.html.

[ИСН]

У Пойа расписывается подробно, с соплями.
Некоторый интерес представляет вопрос о том, что будет, если вместо ряда средних геометрических взять ряд средних другого порядка - гармонических там, или ещё каких.

[Руст]

Ряд средних арифметических расходится, если не все члены равны нулю. А для средних меньшего порядка (в том числе для среднего геометрического, являющийся средним нулевого порядка и тем более для среднего гармонического, являющегося средним -1-го порядка) ряд таких средних сходится.

[ИСН]

Right. Причём можно указать точную константу, которая для средних геометрических вот оказалась равна e.

[Три А,да]

Я имел ввиду сумму последовательности.Она расходится,но сама представима в виде суммы сумм сходящихся последовательностей.

[Hypokeimenon]

Еще есть такая задача: доказать, что если из гармонического ряда выбросить все слагаемые, имеющие в десятичной записи занаменателя цифру 9, ряд станет сходящимся.

[RIP]

Hypokeimenon писал(а):

Еще есть такая задача: доказать, что если из гармонического ряда выбросить все слагаемые, имеющие в десятичной записи занаменателя цифру 9, ряд станет сходящимся.

Можно доказать суммированием по частям (преобразование Абеля).