Ряды

[maxal]

Hypokeimenon писал(а):

Еще есть такая задача: доказать, что если из гармонического ряда выбросить все слагаемые, имеющие в десятичной записи занаменателя цифру 9, ряд станет сходящимся.

вот тут обсуждали уже: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=284

[RIP]

Найти сумму ряда

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2\cdot2^n}.$$

[maxal]

Как известно, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} = \mathop{\rm Li}_2(x)$ - дилогарифм, и $\mathop{\rm Li}_2(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{(\ln 2)^2}{2}.$

[Gordmit]

Руст писал(а):

На самом деле можно вычислить и точное значение суммы.

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\th\biggl(\pi\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)-1.$$

[RIP]

Пусть $F_n$ --- числа Фибоначчи ($F_1=F_2=1$). Найти

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{F_{2^n}}.$$

[maxal]

RIP писал(а):

Пусть $F_n$ --- числа Фибоначчи ($F_1=F_2=1$). Найти

$$\sum_{n=0}^\infty\frac1{F_{2^n}}.$$

По индукции можно показать, что

$$\sum_{n=0}^{m} \frac1{F_{2^n}} = 2 + \frac{F_{2^m - 2}}{F_{2^m}}$$

и взять предел при $m\to\infty$. Ответом будет $2+\phi^{-2}$.
А вообще этот ряд называется рядом Миллина.

[bundos]

Помгите найти сумму ряда

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}\tg\frac1{2^n}. $$

[Хорхе]

bundos писал(а):

Помгите найти сумму ряда

$$\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}\tg\frac1{2^n}. $$

Расписать тангенсы по формуле Тейлора и поменять порядок суммирования. У меня получилось

$$ 1-\frac{\sin 2}{2(1-\cos 2)}, $$

если нигде не обсчитался.

ЗЫ Обсчитался. На самом деле

$$ 1-\frac{\sin 2}{1-\cos 2} = 1 - \ctg 1. $$