Перестановка ряда

[kletochko]

Нужен сходящийся ряд, у которого какая-нибудь перестановка расходится, и пример расходящегося ряда, у которого какая-нибудь перестановка сходится.

[ИСН]

Первое - любой условно сходящийся ряд, второе - он же, после демонстрации на нём первого.

[kletochko]

Это-то понятно. Мне бы тогда пример ряда с конкретной перестановкой)

[svv]

В чем все-таки Ваша проблема:
1) у Вас нет ни одного примера условно сходящегося ряда, и Вы не знаете, где найти такой пример,
или
2) пример есть, но Вы не знаете, как из него перестановками получить расходящийся ряд?

[gris]

Кстати, возможно автор хочет (от него хотят) именно формулу, а не описание перестановки по теореме Римана. Чтобы сработал какой-то признак. А какой? Кроме признака Лейбница, остальные годятся для абсолютно сходящихся. Прямо непонятно, что делать.

[kletochko]

скажу только так. мне сказано "придумать сходящийся ряд, у которого какая-то перестановка сходится", причем надо такую перестановку предъявить и обосновать все.
ясно, что для таких манипуляций подойдет только условно сходящийся ряд.
я пробовала что-то делать с рядом, общий член которого $\frac {(-1)^n}{n}$, но пока что безрезультатно.

[gris]

Очень хороший ряд. Он сходится. Условно.
Давайте соорудим из него ряд, который расходится к плюс бесконечности, скажем. Что там в теореме Римана говорится о сходимости ряда, составленного из положительных членов нашего ряда?
Ну то есть $\dfrac12+\dfrac14+\dfrac16+...$

[kletochko]

такой ряд расходится по теореме Римана, насколько я понимаю, но мне приказано извращаться без нее.

[gris]

ВОт я так и думал. По теореме Римана-то просто, а вот без неё... Действительно, извращение. Но можно расходимость этого ряда и без Римана доказать, ибо это удвоенный ГР. А значит в нём есть последовательные куски с суммами. Вот какие суммы нам подойдут?

[kletochko]

Эм, если честно, я без понятия))

[gris]

Ну хорошо, давайте эм возьмём равным двум.
Как Вам такое разбиение:$\dfrac 12+\dfrac 14+\dfrac 16+\cdots+\dfrac 1{62}+$
$+\dfrac 1{64}+\dfrac 1{66}+\cdots+\dfrac 1{3348}+$
$+\dfrac 1{3350}+\cdots+\dfrac 1{344647}+$
ну и так далее. Оценить бы снизу, что ли?
Ну как? Понятия не появились?

[ewert]

kletochko в сообщении #440086 писал(а):

мне приказано извращаться без нее.

В очередной раз удивляюсь извращощрённости отдельных представителей преподавательского корпуса.

Ну приказали -- так просто вспомните само доказательство теоремы Римана, оно ведь вполне элементарно. Посуммируйте сперва положительные слагаемые Вашего ряда, пока не перешагнёте через единичку. Потом -- отрицательные, пока аналогично, но уже через минус. И т.д. Поскольку ряды из чётных отдельно и нечётных отдельно членов расходятся логарифмически -- нетрудно выписать явно достаточные для расходимости оценки длин этих участков. Хотя извращением это будет, конечно, абсолютным. Но "иначе никак, дедушка", как говаривал Швейк.

[kletochko]

очень слабо (ибо я невежественная "первокурсота"), но примерно поняла, что Вы предлагаете делать, буду пробовать.
кстати, нам преподаватель про теорему Римана ничего не рассказывал. просто нам рассказали на три строчки конспекта, что такое перестановка, и повелели "придумывать" этакие милые ряды.

[ewert]

Ладно, выскажусь конкретнее. Сумма членов чисто гармонического ряда на далёком участке от $n$ до $an$ оценивается через интеграл и асимптотически равна $\ln a$. Вот и доказывайте формально, что если суммировать по очереди то положительные, то отрицательные члены ряда по участкам типа от $k=2^{m}$ до $k=2^{m+1}$, то суммы на этих участках не будут стремиться к нулю. Хотя всё равно это выглядит извращением.

[ИСН]

Изврат извратом, но зачем же самим усугублять? Мы ведь не обязаны это делать на гармоническом ряде. Давайте построим свой собственный ряд, с шахматами и балеринами:
+1
-1
+1/2
-1/2
+1/2
-1/2
+1/4
-1/4
(это повторить 4 раза)
+1/8
-1/8
(это повторить 8 раз)
...
Такой переставлять гораздо приятнее, не правда ли? И сходимость очевидна. И расходимость, когда переставили, тоже.