Тождественны или не тождественны?

[Виктор Викторов]

«...функции тождественны, если они имеют одну и ту же область определения и для каждого аргумента из этой области имеют одно и то же значение.» А. Чёрч «Введение в математическую логику» страница 24.

«Константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны, однако они равносильны, так как обозначают одно и то же число.» А. Чёрч «Введение в математическую логику» страница 23.

Как увязать эти две цитаты? Как константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны, а как постоянные функции тождественны?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #439802 писал(а):

Как увязать эти две цитаты?

А никак. Словосочетание "тождественность констант" вполне бессмысленно. Константы могут попросту или совпадать, или не совпадать. Кроме того, константы не могут в принципе быть равносильными: равносильными могут быть лишь утверждения, но никак не числа. В общем, с какой стороны ни глянь -- сплошной бред.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #439813 писал(а):

В общем, с какой стороны ни глянь -- сплошной бред.

Поскольку речь идёт о высказываниях весьма солидного логика, то хотелось бы услышать есть ли ещё какие мнения?

[Portnov]

Я подозреваю, что, когда речь идёт о константах, они рассматриваются не как числа, а как синтаксические конструкции. Например, «2+2» — это три знака: 2, + и 2, а «4» — это всего один знак, и три знака — это, конечно, не то же самое, что один знак. Вероятно, эта цитата из другого раздела, а то и из другой книги.

[Виктор Викторов]

В том-то и дело, что это последовательные пункты одной и той же книги. Функция – это тройка множеств. И, как обычно, определяя тождественность (равенство?) функций, необходимо совпадение объектов (или как их называет Чёрч денотатов). А когда мы говорим о константах (Чёрч называет константами имена чисел (а как быть с другими объектами?)), то, вообще говоря, речь идет о различных именах (их Чёрч называет равносильными) одного и того же денотата. Но, какой смысл вкладывается в то, что они не тождественны? Эти имена идентифицируют один и тот же объект (денотат). Естественно задать вопрос: Что в этом смысле значит тождественность т. е. когда имена тождественны?

[beroal]

Цитата:

Естественно задать вопрос: Что в этом смысле значит тождественность т. е. когда имена тождественны?

Я думаю, что в здесь тождественность имён означает всего лишь тождественность имён. Если имя есть последовательность символов, то сравнивайте в именах каждый символ поочерёдно. Это одно из тех понятий, которому не дают формальное определение, а объясняют на примерах. Тут я просто повторяю, что уже сказал Portnov.

Цитата:

Чёрч называет константами имена чисел (а как быть с другими объектами?)

Примерно так же. Множества задают, перечисляя элементы или пишут одноместный предикат, которому удовлетворяют элементы множества.

[Виктор Викторов]

beroal в сообщении #439999 писал(а):

Я думаю, что в здесь тождественность имён означает всего лишь тождественность имён. Если имя есть последовательность символов, то сравнивайте в именах каждый символ поочерёдно. Это одно из тех понятий, которому не дают формальное определение, а объясняют на примерах.

На примерах, так на примерах. $y= 0\cdot x -\frac 1 {2\pi}$ и $y= 0\cdot x +\frac {1-4+1} {4\pi}$ две тождественные функции. «Константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны»

Вопрос: какая константа тождественна константе $-\frac 1 {2\pi}{?}$ Варианты ответа: 1) Никакая. 2) $-\frac 1 {2\pi}$ т. е. константа тождественна только самой себе. 3) Какое-то другое имя (сильно в этом сомневаюсь т. к. $\frac {1-4+1} {4\pi}$ ничем не хуже других имен).

И ещё один момент: $-\frac 1 {2\pi} = \frac {1-4+1} {4\pi}$ тождество или нет?

[venco]

Виктор Викторов, из процитированных Вами кусков ясно, что под константой Чёрч подразумевает имя числа, которых может быть много.

Т.е. если провести параллели между константами и функциями, то:
число -> функция,
константа -> запись функции.
Тождественность констант -> тождественность записей функций.

Константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны, но числа обозначаемые ими - тождественны.

[Виктор Викторов]

venco в сообщении #440147 писал(а):

… под константой Чёрч подразумевает имя числа, которых может быть много.

Да, конечно. Так я и спрашиваю (спровоцированный Чёрчем), если два имени одного и того же числа (объекта) не тождественны, то какому имени этого же числа (объекта) одно из них тождественно? Выбор ответа в моем предыдущем комментарии.

venco в сообщении #440147 писал(а):

число -> функция.

Почему? Функция – тройка множеств.

venco в сообщении #440147 писал(а):

константа -> запись функции.
Тождественность констант -> тождественность записей функций.

Не понял.

venco в сообщении #440147 писал(а):

Константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны, но числа обозначаемые ими - тождественны.

Число-то одно; речь идет о равносильности (по Чёрчу), тождественности или равенстве имён.

[venco]

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

… под константой Чёрч подразумевает имя числа, которых может быть много.

Да, конечно. Так я и спрашиваю (спровоцированный Чёрчем), если два имени одного и того же числа (объекта) не тождественны, то какому имени этого же числа (объекта) одно из них тождественно? Выбор ответа в моем предыдущем комментарии.

Очевидно, только самому себе. Вариант 2.

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

число -> функция.

Почему? Функция – тройка множеств.

Ну да, а число - элемент множества чисел.

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

константа -> запись функции.
Тождественность констант -> тождественность записей функций.

Не понял.

Это не эквивалентность, а параллель между понятиями, основанными на числах, и аналогичными понятиями, основанными на функциях. Чтобы лучше понять разницу между сущностями и их именами.

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

Константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны, но числа обозначаемые ими - тождественны.

Число-то одно; речь идет о равносильности (по Чёрчу), тождественности или равенстве имён.

Дык, что непонятно-то? Тождественность констант - тождественность имён, т.е. буквальное равенство записи. Т.к. константы обозначают числа, то для имён (констант) можно ввести понятие равносильности, т.е. разных обозначений одного числа.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

… под константой Чёрч подразумевает имя числа, которых может быть много.

Да, конечно. Так я и спрашиваю (спровоцированный Чёрчем), если два имени одного и того же числа (объекта) не тождественны, то какому имени этого же числа (объекта) одно из них тождественно? Выбор ответа в моем предыдущем комментарии.

venco в сообщении #440164 писал(а):

Очевидно, только самому себе. Вариант 2.

Я тоже думаю, что в этой номенклатуре имя числа тождественно только самому себе. Но остается вопрос: $-\frac 1 {2\pi} = \frac {1-4+1} {4\pi}$ тождество или нет?

venco в сообщении #440164 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

Константы $-\frac 1 {2\pi}$ и $\frac {1-4+1} {4\pi}$ не тождественны, но числа обозначаемые ими - тождественны.

Число-то одно; речь идет о равносильности (по Чёрчу), тождественности или равенстве имён.

Дык, что непонятно-то? Тождественность констант - тождественность имён, т.е. буквальное равенство записи. Т.к. константы обозначают числа, то для имён (констант) можно ввести понятие равносильности, т.е. разных обозначений одного числа.

Видимо, Вы правы. Но таким образом выброшено за борт слово «тождественность» и заменено словом «равносильность». Но разговор-то идет (и тут Вы опять правы) о равенстве имён одного и того же объекта.

venco в сообщении #440164 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

число -> функция.

Почему? Функция – тройка множеств.

Ну да, а число - элемент множества чисел.

Этот диалог выше моего разумения. Как взаимосвязаны утверждения «Функция – тройка множеств» (притом необязательно числовых) с тем что «...число - элемент множества чисел» я понять не могу.

venco в сообщении #440164 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #440157 писал(а):

venco в сообщении #440147 писал(а):

константа -> запись функции.
Тождественность констант -> тождественность записей функций.

Не понял.

Это не эквивалентность, а параллель между понятиями, основанными на числах, и аналогичными понятиями, основанными на функциях. Чтобы лучше понять разницу между сущностями и их именами.

Эта часть комментария написана на иностранном языке, которого я не знаю.

[venco]

Вы пытаетесь связать тождественность констант с тождественностью константных функций, обнаружив "противоречие", поэтому я и позволил себе провести параллель понятий.
Соотношение "тождественность" не универсально, а зависит от класса сущностей, к которым применяется. Если об этом помнить, то парадокса нет, и нет ничего удивительного в том, что не-тождественные константы определяют тождественные константные функции, ведь они также определяют и тождественные числа.

Дисклаймер: возможно я не так понял Ваши сообщения.
Дисклаймер 2: упомянутую книгу я не читал, и сужу о ней только по приведённым Вами цитатам.

[Виктор Викторов]

venco в сообщении #440176 писал(а):

Вы пытаетесь связать тождественность констант с тождественностью константных функций, обнаружив "противоречие", поэтому я и позволил себе провести параллель понятий.

Никаких противоречий в книге Чёрча мной обнаружено не было. Меня весьма заинтересовало использование одного термина (тождественность) для сравнения имен одной и той же функции, и использование другого термина (равносильность) для сравнения имен чисел. Один из вопросов, который здесь возникает, Вы весьма удачно игнорируете. $-\frac 1 {2\pi} = \frac {1-4+1} {4\pi}$ -- тождество, т. е. равносильность нетождественных имен одного и того же числа.

venco в сообщении #440176 писал(а):

Соотношение "тождественность" не универсально, а зависит от класса сущностей, к которым применяется. Если об этом помнить, то парадокса нет, и нет ничего удивительного в том, что не-тождественные константы определяют тождественные константные функции, ведь они также определяют и тождественные числа.

Парадокса действительно нет. Но я и не заявлял, что он (парадокс) есть. А первая фраза о зависимости «тождественности» от класса сущностей интересна. К каким классам сущностей "тождественность" применима, а каким нет? Что касается словосочетания «тождественные числа», то я опять выпадаю из понимания.

venco в сообщении #440176 писал(а):

...упомянутую книгу я не читал, и сужу о ней только по приведённым Вами цитатам.

Весьма рекомендую книгу А. Чёрча «Введение в математическую логику». Книга доступна в сети как по-русски, так и по-английски.

[timots]

Я изучал математическую логику по Мендельсону, поэтому ничего не могу сказать о данной книги. По цитатам трудно судить. Возможно, речь идет о видении предикатной буквы $A^2_1$ и замене ее на равенство$ t=s$.

[Виктор Викторов]

Различение между тождественностью и равносильностью пришло из логики. Представим себе имена «шахматист» и «музыкант». Если речь идет об одном и том же человеке, то имена равносильны, но имеют разный смысл т. к. несут разную информацию об этом человеке и поэтому не тождественны. Но в математической логике какую роль играет этот самый «смысл»? Например: $3-2=1{.}$ $3-2$ бинарное отношение, а в $1$ этого смысла нет.