Диофантово уравнение мадам Зарангеш

[Xenia1996]

Если на форуме такое уже было, я удалю.

$x^3+y^3=z^4-t^2$
Доказать бесконечность множества решений в натуральных числах.

Бьюсь об заклад, Ваше решение будет длиннее моего

[Хорхе]

(Оффтоп)

Не девчачье это дело - мериться, у кого длиннее...

$(x,y,z,t) \to (k^4 x,k^4y, k^3z, k^6t)$.

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #439929 писал(а):

(Оффтоп)

Не девчачье это дело - мериться, у кого длиннее...

Вы решили?

[Хорхе]

Ага. Там же, в оффтопе.

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #439931 писал(а):

Ага. Там же, в оффтопе.

Значит, у Вас короче

Я стала решать так:

Переписала уравнение в виде

$x^2+y^3+t^2=z^4$

Меня зацепило, что $4^3+4^3+4^2=12^2$

Уже слышу, как Вы кричите "но ведь 12 в квадрате - это не четвёртая степень!".

Верно. Организуем процесс. Будем каждую минуту умножать каждое из слагаемых на $12^6$. Тогда раветство будет продолжать оставаться в силе, три слагаемых будут продолжать оставаться кубами и квадратом соответственно, а сумма будет через раз то 4-ой степенью, то не 4-ой. Те разы, что она не 4-ая, выкинем и останется бесконечно много нужных нам решений.
Я права?

[Хорхе]

У Вас все равно короче, потому что у меня частичное решение не предъявлено :)

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #439936 писал(а):

У Вас все равно короче, потому что у меня частичное решение не предъявлено :)

А моё почему частичное? Я ошиблась где-то?

[Хорхе]

У Вас все в порядке. А я показал, как из одного решения сделать много. Но это самое одно решение не показал.

[Xenia1996]

Хорхе в сообщении #439938 писал(а):

У Вас все в порядке. А я показал, как из одного решения сделать много. Но это самое одно решение не показал.

Я только одного не понимаю, почему это уравнение поместили в самый конец, на 19-ое место:

http://math.stanford.edu/~petermc/olymp ... antine.pdf

Я думала, там по возрастанию сложности идёт...
Но последнее, почему-то, оказалось легче всех остальных

[nnosipov]

А я использовал другое симпатичное равенство: $1^3+2^3+3^3=6^2$.
А в этом файле http://math.stanford.edu/~petermc/olymp ... antine.pdf какая-то сборная солянка, в основном из известных задач.

[age]

nnosipov в сообщении #439948 писал(а):

А я использовал другое симпатичное равенство: $1^3+2^3+3^3=6^2$.

$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$

[Xenia1996]

age в сообщении #439960 писал(а):

nnosipov в сообщении #439948 писал(а):

А я использовал другое симпатичное равенство: $1^3+2^3+3^3=6^2$.

$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$

И вообще, сумма первых нескольких кубов - всегда квадрат, я об этом уже неоднократно писала
Причём не просто квадрат, а квадрат треугольного числа.

[Equinoxe]

И это элементарно доказывается по индукции :)

[ИСН]

И не только первых. Об этом была тоже хорошая задача: topic24760.html

[Sonic86]

Множество решений уравнения $x^3-1=z^4-t^2$ тоже бесконечно.