Задача о двух шариках.

[Morkonwen]

Любопытная задача, ответ в которой у меня не совпадает с ответом в задачнике, сколько я ни мучаюсь

Однородный шар радиуса r и массой m катится, не проскальзывая по горизонтальной плоскости со скоростью v. В момент, когда он касается другого такого же шарика, лежащего неподвижно, шары жестко скрепляются. Плоскость абсолютно гладкая(после скрепления шары свободно скользят по ней).

С какими силами действует плоскость на каждый из шаров? Ускорение свободного падения достаточно велико, чтобы шарики всегда касались плоскости.

Свое решение могу написать если хотите, но оно, видимо, не правильное, так что что бы не сбивать не буду пока писать.

[Morkonwen]

Все, вопрос снят - придумал довольно красивое решение без особых вычислений (не считая момента импульса и угловых скоростей.)

[Munin]

Огласите :-) Рисунок - это вид сверху или что?

[Morkonwen]

Да, вид сверху а решение такое :
Оси координат такие: Рассматриваем все в системе цм., а оси пускай жестко закреплены в теле.

z - перп. плоскости, на которой движутся шарики.
x - идет вдоль линии центров шариков и
y перп к ней и паралельно плоскости.

Чтобы стало очевидно что один из шариков действительно сильнее давит на плоскость, чем другой, нужно сначало представить, что плоскости нет и отметить, что в системе есть составляющие момента импульса и на z и на x . то есть в момент скрепления в объедененной системе из двух шаров будут состовляющие момента импульса на две неэквивалентные оси. Такая система(симметричный волчок) как известно будет совершать прецессию с вращением, а не просто вращение, а поставив плоскость мы такой прецессии мешам.

Так что момент возникающий от сил реакции плоскостей должен как раз так менять момент импульса, чтобы не появлялось состовляющей МИ на ось y. Тогда и вращения вокруг этой оси не будет и ,значит, шарики не будут подниматся и над плоскостью.

Кроме того, ясно, что и длина вектора МИ менятся не может, ведь не меняется энергия системы. Так что МИ должен не меняясь по длине и оставаясь жестко закрепленным в теле вращатся вместе с ним. а момент как раз должен таким образом его изменять, поэтому тогда за время dt момент импульса изменится на $[\vec{\Omega}\times \vec{L}]\,dt=\vec{M_N} dt$ Где M- момент сил реакции плоскости. Он напрвален, очевидно по y , поэтому $r\,(N_1-N_2)=L_x\,\Omega_z$Где r- радиус шарика, а N - силы со стороны плоскости на первый и второй шарик, они конечно нормальны к плоскости. Дальше понятно, что разница между N делится по полам между обоими векторами, ведь центр масс то двигаться не должен и все в сумме должно быть равно нулю. Дальше тривиальные вычисления момента импульса системы до столкновения(он не поменяется по модулю) и моментов инерции системы из двух шаров. и ответ у нас в кармане. Он такой
$N=m\,(g\pm\frac{v^2}{14r})$

[Munin]

Занятно. Красивый эффект.

[Morkonwen]

Munin в сообщении #440178 писал(а):

Занятно. Красивый эффект.

Да, я несколько минут в недоумении сидел и думал, что это такая задачка с подвохом, поскольку интуитивно то кажется что силы равны должны быть.

Но в общем то почти тоже самое происходит при прецесси гироскопа(если бы гравитацию сделать менее сильной.)