Остался вопрос про аксиому выбора...
Если я правильно понял, проблема касается не только бесконечных, но и конечных множеств. А именно - множество рассматривается как некий мешок с элементами, а как они там лежат - мы не знаем.
Договоримся о том, что элементы одного множества все-таки чем-либо отличаются между собой. Например, если рассматриваем множество светловолосых людей, то разные люди из этого множества будут отличаться отпечатками пальцев. В противном случае мы получим множество тождественных элементов - типа {2 2 2 2}, и нам будет все равно, какой из элементов будет выбран в качестве представителя.
Пусть есть некий Оракул, который умеет производить стандартные операции с множествами. Например, если мы ему дадим два множества и скажем "Объедини" - он выдаст нам один мешок с объединенным множеством. В том числе Оракул может по команде "Подмножество" собрать и отдать нам подмножество элементов, удовлетворяющих некоторому точно заданному критерию, - например выделить из множества светловолосых людей с голубыми глазами.
Пусть мы имеем множество
, элементами которого являются множества мощности
. Тогда мы можем взять числовую прямую
и для каждого элемента
дать Оракулу следующие команды:
1) "Декартово произведение":
2) "Множество всех подмножеств":
3) "Подмножество":
4) "Подмножество":
5) "Прообраз":
Объединение всех
и даст искомое множество представителей, поскольку
, так?
Какая тогда из команд Оракула неверна в отсутствие аксиомы выбора?
Добавлено спустя 32 минуты 21 секунду:
А, Оракул, пожалуй, не сможет найти
...