Мощность множества всех функций N^N или 2^N?

[AlexDem]

Возможно, что наивна не теория множеств, а логика. Если отказаться от использования отрицательных утверждений типа "не существует", "не принадлежит", думаю, что многие (если не все) противоречия в теории множеств исчезнут.

При этом вместо отрицательных можно использовать положительные формы утверждений, например, вместо: $\nexists x \in X: f(x) = 0$ можно записать: для $Z = X \cup Y$, где $X \cap Y = \varnothing$: если $f(x) = 0$, то $x \in Y$. Если при этом возникнет необходимость использовать $U$ как универсальное множество, то неплохо было бы выяснить, например, его мощность.

[Someone]

AlexDem писал(а):

Если отказаться от использования отрицательных утверждений типа "не существует", "не принадлежит", думаю, что многие (если не все) противоречия в теории множеств исчезнут.

О каких противоречиях идёт речь?

[AlexDem]

Someone писал(а):

О каких противоречиях идёт речь?

Хотелось бы проверить... Я даже парадокс Рассела затрудняюсь сформулировать в отсутствие отрицания. Можно попробовать рассмотреть, например, какие-нибудь из тех, что связаны с аксиомой выбора.

[Someone]

AlexDem писал(а):

Someone писал(а):

О каких противоречиях идёт речь?

Хотелось бы проверить... Я даже парадокс Рассела затрудняюсь сформулировать в отсутствие отрицания. Можно попробовать рассмотреть, например, какие-нибудь из тех, что связаны с аксиомой выбора.

В современной теории множеств парадоксы неизвестны. В частности, парадокс Рассела относится к первоначальной "неограниченной" теории множеств Кантора, в которой множествами считались произвольные совокупности элементов. В аксиоматической теории множеств этот парадокс невоспроизводим.

[AlexDem]

Не могу с этим поспорить, но, насколько мне известно, от "наивной" теории множеств отказались именно из-за присущих ей противоречий. Кроме того, мне неясна ситуация с той же аксиомой выбора - принимается ли она безоговорочно, или имеет ограниченную область применения? И можно ли без этой аксиомы ввести понятие метрического пространства?

[Someone]

AlexDem писал(а):

Не могу с этим поспорить, но, насколько мне известно, от "наивной" теории множеств отказались именно из-за присущих ей противоречий.

В общем-то, да. Особого желания её вернуть не наблюдается.

AlexDem писал(а):

Кроме того, мне неясна ситуация с той же аксиомой выбора - принимается ли она безоговорочно, или имеет ограниченную область применения?

Что значит - безоговорочно? Она либо принимается, либо не принимается. Но совсем без аксиомы выбора довольно трудно. Даже эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне не докажешь. Поэтому существуют альтернативные аксиомы: счётная аксиома выбора, аксиома зависимого выбора, аксиома детерминированности. Для математического анализа, кажется, достаточно счётной аксиомы выбора. Но в теории множеств и топологии без полной аксиомы выбора оказываются неверными некоторые очень важные теоремы.

AlexDem писал(а):

И можно ли без этой аксиомы ввести понятие метрического пространства?

Да можно, почему бы и не определить. Только, как я говорил, совсем без аксиомы выбора тяжело придётся. Даже сходящуюся последовательность не построить.

[AlexDem]

Пожалуй, надо посерьезней засесть за литературу, либо вообще лучше лирику почитать, а пока аргументы у меня закончились. Посему - спасибо за интересную беседу