2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение11.12.2006, 12:17 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Возможно, что наивна не теория множеств, а логика. Если отказаться от использования отрицательных утверждений типа "не существует", "не принадлежит", думаю, что многие (если не все) противоречия в теории множеств исчезнут.

При этом вместо отрицательных можно использовать положительные формы утверждений, например, вместо: $\nexists x \in X: f(x) = 0$ можно записать: для $Z = X \cup Y$, где $X \cap Y = \varnothing$: если $f(x) = 0$, то $x \in Y$. Если при этом возникнет необходимость использовать $U$ как универсальное множество, то неплохо было бы выяснить, например, его мощность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2006, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
AlexDem писал(а):
Если отказаться от использования отрицательных утверждений типа "не существует", "не принадлежит", думаю, что многие (если не все) противоречия в теории множеств исчезнут.


О каких противоречиях идёт речь?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2006, 16:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Someone писал(а):
О каких противоречиях идёт речь?

Хотелось бы проверить... Я даже парадокс Рассела затрудняюсь сформулировать в отсутствие отрицания. Можно попробовать рассмотреть, например, какие-нибудь из тех, что связаны с аксиомой выбора.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2006, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
AlexDem писал(а):
Someone писал(а):
О каких противоречиях идёт речь?

Хотелось бы проверить... Я даже парадокс Рассела затрудняюсь сформулировать в отсутствие отрицания. Можно попробовать рассмотреть, например, какие-нибудь из тех, что связаны с аксиомой выбора.


В современной теории множеств парадоксы неизвестны. В частности, парадокс Рассела относится к первоначальной "неограниченной" теории множеств Кантора, в которой множествами считались произвольные совокупности элементов. В аксиоматической теории множеств этот парадокс невоспроизводим.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2006, 20:54 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Не могу с этим поспорить, но, насколько мне известно, от "наивной" теории множеств отказались именно из-за присущих ей противоречий. Кроме того, мне неясна ситуация с той же аксиомой выбора - принимается ли она безоговорочно, или имеет ограниченную область применения? И можно ли без этой аксиомы ввести понятие метрического пространства?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2006, 21:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
AlexDem писал(а):
Не могу с этим поспорить, но, насколько мне известно, от "наивной" теории множеств отказались именно из-за присущих ей противоречий.


В общем-то, да. Особого желания её вернуть не наблюдается.

AlexDem писал(а):
Кроме того, мне неясна ситуация с той же аксиомой выбора - принимается ли она безоговорочно, или имеет ограниченную область применения?


Что значит - безоговорочно? Она либо принимается, либо не принимается. Но совсем без аксиомы выбора довольно трудно. Даже эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне не докажешь. Поэтому существуют альтернативные аксиомы: счётная аксиома выбора, аксиома зависимого выбора, аксиома детерминированности. Для математического анализа, кажется, достаточно счётной аксиомы выбора. Но в теории множеств и топологии без полной аксиомы выбора оказываются неверными некоторые очень важные теоремы.

AlexDem писал(а):
И можно ли без этой аксиомы ввести понятие метрического пространства?


Да можно, почему бы и не определить. Только, как я говорил, совсем без аксиомы выбора тяжело придётся. Даже сходящуюся последовательность не построить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.12.2006, 22:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Пожалуй, надо посерьезней засесть за литературу, либо вообще лучше лирику почитать, а пока аргументы у меня закончились. Посему - спасибо за интересную беседу :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group