2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Inequality.
Сообщение25.04.2011, 11:29 


30/11/10
227
If $a,b,c\in\mathbf{R^{+}}$.Then prove that $\displaystyle\frac{1}{x+y+z+1}-\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{1}{8}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Inequality.
Сообщение25.04.2011, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Левая часть не уменьшается при замене $x,y$ на $(x+y)/2, (x+y)/2,$
поэтому левая часть максимальна при $x=y=z=1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2011, 13:47 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #438470 писал(а):
Левая часть не уменьшается при замене $x,y$ на $(x+y)2, (x+y)/2,$
поэтому левая часть максимальна при $x=y=z=1$

Да, левая часть максимальна для $x=y$. Вот то, что при этом максимум, когда $x=y=z=1$, нужно доказывать, но это, действительно, доказывается.
Можно ещё так:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 52&t=67113

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение25.04.2011, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
arqady в сообщении #438487 писал(а):
Да, левая часть максимальна для $x=y$. Вот то, что при этом максимум, когда $x=y=z=1$, нужно доказывать, но это, действительно, доказывается.

Это доказывается нахождением нуля производной функции $f(x)=\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{(x+1)^3}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2011, 15:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #438493 писал(а):
arqady в сообщении #438487 писал(а):
Да, левая часть максимальна для $x=y$. Вот то, что при этом максимум, когда $x=y=z=1$, нужно доказывать, но это, действительно, доказывается.

Это доказывается нахождением нуля производной функции $f(x)=\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{(x+1)^3}$

Тогда непонятно... :? Почему $x=y=z$? У Вас ведь есть только $x=y$. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение26.04.2011, 05:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
arqady в сообщении #438512 писал(а):
Тогда непонятно... :? Почему $x=y=z$? У Вас ведь есть только $x=y$. :wink:

Если среди $x, y, z$ не все одинаковые, то можно увеличить левую часть указанной заменой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.04.2011, 07:44 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны и $abc=1$. Докажите, что:
$$a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)\geq16(a+b+c)$$
Здесь, понятно, речь идёт о замене $(a,b,c)$ на $\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение27.04.2011, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
arqady в сообщении #439040 писал(а):
TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?
Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение27.04.2011, 15:17 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #439102 писал(а):
arqady в сообщении #439040 писал(а):
TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?
Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

Не приведу! Доказывайте сами. :P
А почему не привести?
Пусть $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)-16(a+b+c)$.
Тогда $f(a,b,c)-f\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}\right)=\left(\sqrt b-\sqrt c\right)^2((\sqrt b+\sqrt c)^2+15a-16)$,
что не является неотрицательным для всех положительных $a$, $b$ и $c$, для котрых $abc=1$.
Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение28.04.2011, 08:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
arqady в сообщении #439160 писал(а):
Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.
Здесь я не делал никакого утверждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение28.04.2011, 08:30 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #439338 писал(а):
arqady в сообщении #439160 писал(а):
Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.
Здесь я не делал никакого утверждения.

Безусловно, но обещали:
TOTAL в сообщении #439102 писал(а):
arqady в сообщении #439040 писал(а):
TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?
Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

Рассуждение я привёл, вот здесь:
arqady в сообщении #439160 писал(а):
TOTAL в сообщении #439102 писал(а):
arqady в сообщении #439040 писал(а):
TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?
Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

Пусть $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)-16(a+b+c)$.
Тогда $f(a,b,c)-f\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}\right)=\left(\sqrt b-\sqrt c\right)^2((\sqrt b+\sqrt c)^2+15a-16)$,
что не является неотрицательным для всех положительных $a$, $b$ и $c$, для котрых $abc=1$.
Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.

Напомню, что речь идёт о следующем неравенстве:
arqady в сообщении #439040 писал(а):
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны и $abc=1$. Докажите, что:
$$a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)\geq16(a+b+c)$$

Так Вы согласны, что Ваше рассуждение не проходит для этого неравенства или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение28.04.2011, 09:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
arqady в сообщении #439339 писал(а):
Так Вы согласны, что Ваше рассуждение не проходит для этого неравенства или нет?
Повторяю, для этого неравенства я не делал утверждений. То рассуждение, что приводили Вы, является Вашим рассуждением, оно не аналогично моему рассуждению для исходного неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Re:
Сообщение28.04.2011, 11:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #439354 писал(а):
Повторяю, для этого неравенства я не делал утверждений.

Разве я Вас об этом спрашивал? :? Впрочем, не хотите отвечать - Ваше право.
TOTAL в сообщении #439354 писал(а):
То рассуждение, что приводили Вы, является Вашим рассуждением, оно не аналогично моему рассуждению для исходного неравенства.

Буквально оно другое, но оно аналогично Вашему рассуждению для первого неравенства и не работает для моего последнего неравенства.
Кстати, замечу Вам в Вашем же стиле:
TOTAL в сообщении #439354 писал(а):
Повторяю, для этого неравенства я не делал утверждений.

А то, что Вы только что сказали, - это что? :lol:
Всё! Пошёл делом заниматься!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group