Inequality.

[man111]

If $a,b,c\in\mathbf{R^{+}}$.Then prove that $\displaystyle\frac{1}{x+y+z+1}-\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq \frac{1}{8}$

[TOTAL]

Левая часть не уменьшается при замене $x,y$ на $(x+y)/2, (x+y)/2,$
поэтому левая часть максимальна при $x=y=z=1$

[arqady]

TOTAL в сообщении #438470 писал(а):

Левая часть не уменьшается при замене $x,y$ на $(x+y)2, (x+y)/2,$
поэтому левая часть максимальна при $x=y=z=1$

Да, левая часть максимальна для $x=y$. Вот то, что при этом максимум, когда $x=y=z=1$, нужно доказывать, но это, действительно, доказывается.
Можно ещё так:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 52&t=67113

[TOTAL]

arqady в сообщении #438487 писал(а):

Да, левая часть максимальна для $x=y$. Вот то, что при этом максимум, когда $x=y=z=1$, нужно доказывать, но это, действительно, доказывается.

Это доказывается нахождением нуля производной функции $f(x)=\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{(x+1)^3}$

[arqady]

TOTAL в сообщении #438493 писал(а):

arqady в сообщении #438487 писал(а):

Да, левая часть максимальна для $x=y$. Вот то, что при этом максимум, когда $x=y=z=1$, нужно доказывать, но это, действительно, доказывается.

Это доказывается нахождением нуля производной функции $f(x)=\frac{1}{3x+1}-\frac{1}{(x+1)^3}$

Тогда непонятно... Почему $x=y=z$? У Вас ведь есть только $x=y$.

[TOTAL]

arqady в сообщении #438512 писал(а):

Тогда непонятно... Почему $x=y=z$? У Вас ведь есть только $x=y$.

Если среди $x, y, z$ не все одинаковые, то можно увеличить левую часть указанной заменой.

[arqady]

TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?
Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны и $abc=1$. Докажите, что:

$$a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)\geq16(a+b+c)$$

Здесь, понятно, речь идёт о замене $(a,b,c)$ на $\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}\right)$.

[TOTAL]

arqady в сообщении #439040 писал(а):

TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?

Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

[arqady]

TOTAL в сообщении #439102 писал(а):

arqady в сообщении #439040 писал(а):

TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?

Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

Не приведу! Доказывайте сами.
А почему не привести?
Пусть $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)-16(a+b+c)$.
Тогда $f(a,b,c)-f\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}\right)=\left(\sqrt b-\sqrt c\right)^2((\sqrt b+\sqrt c)^2+15a-16)$,
что не является неотрицательным для всех положительных $a$, $b$ и $c$, для котрых $abc=1$.
Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.

[TOTAL]

arqady в сообщении #439160 писал(а):

Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.

Здесь я не делал никакого утверждения.

[arqady]

TOTAL в сообщении #439338 писал(а):

arqady в сообщении #439160 писал(а):

Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.

Здесь я не делал никакого утверждения.

Безусловно, но обещали:

TOTAL в сообщении #439102 писал(а):

arqady в сообщении #439040 писал(а):

TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?

Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

Рассуждение я привёл, вот здесь:

arqady в сообщении #439160 писал(а):

TOTAL в сообщении #439102 писал(а):

arqady в сообщении #439040 писал(а):

TOTAL, работает ли Ваше рассуждение для следующего неравенства?

Приведите рассуждение для этого неравенства, тогда можно подумать.

Пусть $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)-16(a+b+c)$.
Тогда $f(a,b,c)-f\left(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}\right)=\left(\sqrt b-\sqrt c\right)^2((\sqrt b+\sqrt c)^2+15a-16)$,
что не является неотрицательным для всех положительных $a$, $b$ и $c$, для котрых $abc=1$.
Поэтому Ваше рассуждение здесь не работает.

Напомню, что речь идёт о следующем неравенстве:

arqady в сообщении #439040 писал(а):

Пусть $a$, $b$ и $c$ положительны и $abc=1$. Докажите, что:

$$a^2+b^2+c^2+15(ab+ac+bc)\geq16(a+b+c)$$

Так Вы согласны, что Ваше рассуждение не проходит для этого неравенства или нет?

[TOTAL]

arqady в сообщении #439339 писал(а):

Так Вы согласны, что Ваше рассуждение не проходит для этого неравенства или нет?

Повторяю, для этого неравенства я не делал утверждений. То рассуждение, что приводили Вы, является Вашим рассуждением, оно не аналогично моему рассуждению для исходного неравенства.

[arqady]

TOTAL в сообщении #439354 писал(а):

Повторяю, для этого неравенства я не делал утверждений.

Разве я Вас об этом спрашивал? Впрочем, не хотите отвечать - Ваше право.

TOTAL в сообщении #439354 писал(а):

То рассуждение, что приводили Вы, является Вашим рассуждением, оно не аналогично моему рассуждению для исходного неравенства.

Буквально оно другое, но оно аналогично Вашему рассуждению для первого неравенства и не работает для моего последнего неравенства.
Кстати, замечу Вам в Вашем же стиле:

TOTAL в сообщении #439354 писал(а):

Повторяю, для этого неравенства я не делал утверждений.

А то, что Вы только что сказали, - это что?
Всё! Пошёл делом заниматься!