Маленькие вопросы по разным темам

[ИСН]

Скорее всего, выводится как-то там из рациональных приближений. Если каждый $c_n$ делится на все предыдущие, то он же является и знаменателем частичной суммы; теперь, если остаток так драматически мал, то по теореме Рота...

[caxap]

ИСН в сообщении #437336 писал(а):

по теореме Рота...

А это что такое?

[ИСН]

http://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80 ... th_theorem
(Это по второй части.)

[ИСН]

Это я загнул, конечно. Не из разряда "забивать гвозди микроскопом", но где-то "встать на ящик с микроскопом, чтобы дотянуться до верхней полки". Теорема Рота, действительно, лежит в той же отрасли, но она значительно сложнее, чем Ваше утверждение. Фактически, его вторая часть ("Если же вдобавок...") даёт нам число Лиувилля, а их трансцендентность - это штука совсем простая.

[caxap]

ИСН в сообщении #437389 писал(а):

Фактически, его вторая часть ("Если же вдобавок...") даёт нам число Лиувилля

А другие числа можно получить? Например, $\pi$ и $e$ (последовательность факториалов второй части условия не удовлетворяет)? Вообще, есть ли в той теореме какая-то практическая польза, в смысле, можно ли так же легко показать трансцендентность многих "популярных" чисел, как показана иррациональность $e$? (Если нет, то есть ли другие подобные теоремы, но уже посильнее?)

[ИСН]

Нет, нельзя, не удовлетворяет, и нет пользы. Вернее, польза есть от первой части (та тоже доказывается элементарными рассуждениями) - она даёт нам иррациональность e. Но и всё.

[caxap]

Вопрос. Бывают ли в физике недифференцируемые функции? (Извиняюсь за размытую формулировку, но, я думаю, все поняли, о чём я: функции -- это любые физические зависимости, скажем, коордианата движущейся точки от времени, отклонение пули от скорости ветра, зависимость температуры/давления от времени и координаты, растяжение нити от массы груза... и т. д. и т. п.)

[ewert]

caxap в сообщении #438777 писал(а):

Бывают ли в физике недифференцируемые функции?

Бывают даже разрывные. Например, на границе двух сред её характеристика меняется скачком.

[caxap]

Возмём два камешка и столкнём. Пусть положение центра тяжести первого в пространстве описывается функцией $t\mapsto r(t)$ от времени. В момент столкновения дифференцируемость вроде бы должна нарушится, но не существует абсолютно твердых тел, да и вообще контакт будет идти конечное $\neq 0$ время и "излом" на графике сгладится. То есть дифференцируемость не нарушена.

Возьмём две элементарные частица и столкнём. Пусть их положение первой в пространстве описывается функцией $t\mapsto r(t)$ от времени. В момент столкновения дифференцируемость $r$ нарушится?

ewert в сообщении #438778 писал(а):

Бывают даже разрывные. Например, на границе двух сред её характеристика меняется скачком.

А там точно будет скачок? Может быть небольшое сглаживание будет? Небольшая диффузия сред друг в друга может быть?

[ewert]

caxap в сообщении #438781 писал(а):

Возьмём две элементарные частица и столкнём.

Элементарные частицы не "сталкиваются" в обычном смысле в силу их размазанности в пространстве. Они "рассеиваются".

caxap в сообщении #438781 писал(а):

А там точно будет скачок? Может быть небольшое сглаживание будет?

Вопрос выбора модели. Иногда сглаживание помогает, но в большинстве случаев оно вычислительно неадекватно. Скажем, если решать какое-либо уравнение типа теплопроводности разностными методами, то разрывность коэффициента теплопроводности не учитывать нельзя -- она существенно влияет на свойства сеточной схемы. И никакое сглаживание тут не поможет: участок сглаживания много меньше шага сетки, т.е. на шаге функция меняется очень сильно, а это недопустимо.

[caxap]

ewert в сообщении #438782 писал(а):

Вопрос выбора модели.

Меня не вычислительная сторона волнует, а как оно "на самом деле". Может ли реальная физическая зависимость быть недифференцируемой? Я как ни пытаюсь, ничего не могу придумать, чтобы излом или скачок был самым настоящим. Ещё пример: возьмём сосуд с тонкими стенками, закачаем туда воздух под высоким давлением. Так вот, какая бы тонкая стенка ни была и какая бы ни была разность давлений, график давления в сечении стенки всё равно будет не "ступенька", а что-то более сглаженное и дифференцируемое. Так ведь?

[ewert]

caxap в сообщении #438783 писал(а):

Меня не вычислительная сторона волнует, а как оно "на самом деле".

Вопрос праздный. "На самом деле" -- ровно так, как адекватно. Т.е. модель ровно настолько точно описывает реальную ситуацию, насколько она помогает её обсчитывать.

caxap в сообщении #438783 писал(а):

график давления в сечении стенки всё равно будет не "ступенька", а что-то более сглаженное и дифференцируемое. Так ведь?

Опять же вопрос адекватности модели. Если стенку считать бесконечно тонкой, то на ней будет скачок. Если же учитывать её конечную толщину, то ступеньки, конечно, не будет, но будет излом: градиент давлений в воздухе нулевой, внутри стенки -- нет. И вот сгладить скачок градиента на поверхности стенки уже нельзя: такое сглаживание было бы адекватным лишь на расстояниях порядка межмолекулярных, а там просто само понятие давления не имеет смысла.

[Joker_vD]

Пластина Т-образной формы — ее ширина в одном месте скачком увеличивается. И ничего тут не поделаешь, так как если вникать до атомного уровня, там само понятие "ширины пластины" теряет смысл.

[caxap]

Ясно.

[_hum_]

Наверное, еще стоило бы на квантовую физику взглянуть, где дискретность носит принципиальный характер, и уже не всегда может быть "аппроксимирована непрерывностью"(взять, например, какой-нить спектр поглощения квантовой системы...).