Открытое множество (многочлены в пространстве C[a,b])

[RIP]

Правильно.

[Cat]

А для множества многочленов степени k, замыканием также будет C_{[a,b]}?

[Brukvalub]

Нет, не будет. Дело в том, что, приближая, скажем, функцию у=sin x со все возрастающей точностью, мы будем вынуждены брать многочлены все более высокой степени.

[RIP]

Многочлены степени не выше $k$ образуют замкнутое множество, поскольку в любом нормированном пространстве любое конечномерное подпространство замкнуто.

[Cat]

А в множестве предельных точек многочлена степени n будут функции, не являющиеся многочленами из C_{[a,b]}?

[PAV]

Ответ следует из предыдущего поста RIP и определения замкнутого множества.

[Cat]

Значит, не будет. А предположим, что такая теорема мне неизвестна, можно ли это по-другому показать.

Добавлено спустя 1 час 19 минут 17 секунд:

Может интерполяционную формулу Лагранжа применить...

[Егор]

Речь шла о том, что множество многочленов степени не выше $k$ замкнуто по равномерной норме на сегменте. Вот немножко более сильное утверждение.

Пусть $f_n$ - последовательность многочленов степени не выше $k$, поточечно сходящаяся на сегменте $[a,b]$ к некоторой функции $g$. Тогда $g$ также является многочленом степени на выше $k$, а сходимость $f_n$ к $g$ равномерна на сегменте $[a,b]$.

Начать доказательство можно так: выбрать на сегменте попарно различные точки $x_0,x_1,\ldots,x_k$ и с помощью формулы Крамера выразить коэффициенты многочленов $f_n$ через значения этих многочленов в выбранных точках.

[Cat]

А можно ли вместо формулы Крамера воспользоваться формулой Лагранжа, а то не припомню что-то формулы Крамера для многочленов.

[Brukvalub]

Cat писал(а):

А можно ли вместо формулы Крамера воспользоваться формулой Лагранжа, а то не припомню что-то формулы Крамера для многочленов.

Речь идет о методе Крамера решения линейных систем с помощью определителей.