2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение24.04.2011, 21:23 
Заслуженный участник


26/06/07
1909
Tel-aviv
Докажите обычное AM-GM, пользуясь только $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ для неотрицательных $x$ и $y$.
Например, докажите, что для неотрицательных $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ выполняется:
$$\frac{a+b+c+d+e}{5}\geq\sqrt[5]{abcde}$$
в одну строчку. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение24.04.2011, 21:31 


14/04/11
33
arqady в сообщении #438376 писал(а):
Докажите обычное AM-GM, пользуясь только $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ для неотрицательных $x$ и $y$.
Например, докажите, что для неотрицательных $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ выполняется:
$$\frac{a+b+c+d+e}{5}\geq\sqrt[5]{abcde}$$
в одну строчку. :-)


Вопрос: какой смысл несёт в себе это задание? В одну строчку можно расписать так: "по индукции всё получается)"

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение24.04.2011, 23:11 
Заслуженный участник


03/12/07
338
По Огюстену Луи Коши?
$\left( {\left( {a + b} \right) + \left( {c + d} \right)} \right) + \left( {\left( {e + \sqrt[5]{{abcde}}} \right) + \left( {\sqrt[5]{{abcde}} + \sqrt[5]{{abcde}}} \right)} \right) \ge 8\sqrt[5]{{abcde}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение25.04.2011, 01:12 


14/04/11
10
Если делать штурмом, то можно и am-gm для двух не пользоваться. Да и вообще ничем. $(a-m)(b+m)>ab$ равносильно тому, что
$a-b>m$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2011, 05:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1909
Tel-aviv
Edward_Tur в сообщении #438389 писал(а):
По Огюстену Луи Коши?
$\left( {\left( {a + b} \right) + \left( {c + d} \right)} \right) + \left( {\left( {e + \sqrt[5]{{abcde}}} \right) + \left( {\sqrt[5]{{abcde}} + \sqrt[5]{{abcde}}} \right)} \right) \ge 8\sqrt[5]{{abcde}}$

Да! :D
Можно ещё сильнее конкретизировать:
$$a+b+c+d+e+3\sqrt[5]{abcde}\geq2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{cd}}\cdot2\sqrt{2\sqrt{e\sqrt[5]{abcde}}\cdot2\sqrt[5]{abcde}}}=8\sqrt[5]{abcde}$$
Такое ощущение, что в этом мире всё уже когда-то было. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение25.04.2011, 10:32 
Заслуженный участник


02/08/10
624
А так можно?)
$\sum\limits_{cyc}a \ge \sum\limits_{cyc}\sqrt{ab} \ge \sum\limits_{cyc}\sqrt[4]{abcd}\ge \sum\limits_{cyc}\sqrt[8]{a^2b^2c^2de}\ge \sum\limits_{cyc}\sqrt[16]{a^4b^3c^3d^3e^3}\ge....$
После $4n$ аналогичных повторений получаем $...\ge  \sum\limits_{cyc}\sqrt[2^{4n}]{a^{\frac{2^{4n}+4}{5}}b^{\frac{2^{4n}-1}{5}}c^{\frac{2^{4n}-1}{5}}d^{\frac{2^{4n}-1}{5}}e^{\frac{2^{4n}-1}{5}}}$$...\ge  \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{cyc}\sqrt[2^{4n}]{a^{\frac{2^{4n}+4}{5}}b^{\frac{2^{4n}-1}{5}}c^{\frac{2^{4n}-1}{5}}d^{\frac{2^{4n}-1}{5}}e^{\frac{2^{4n}-1}{5}}}=\sqrt[5]{abcde}$
Тут правда 2 строчки получилось)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2011, 15:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1909
Tel-aviv
MrDindows, в действительности, добавка $3\sqrt[5]{abcde}$ избавляет от предельного перехода. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 09:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31930
Доказываю (независимо от $n$ и даже от $n=2$)

Если левая часть константа, то правая максимальна при всех одинаковых иксах, т.к. иначе её можно увеличить.

Ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 09:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4847
Нов-ск
ewert в сообщении #438751 писал(а):
Ч.т.д.

Неверно, т.к. всё должно заканчиваться буквами К.т.д. (как и следовало доказать), ведь
arqady в сообщении #438376 писал(а):
пользуясь только $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 09:28 
Заслуженный участник


11/05/08
31930

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #438754 писал(а):
Неверно, т.к. всё должно заканчиваться буквами К.т.д. (как и следовало доказать), ведь

Неверная логика: у меня не используется вообще ничего и, следовательно, ничего, кроме того неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 10:04 
Заслуженный участник


20/12/10
7308

(Оффтоп)

ewert в сообщении #438756 писал(а):
Неверная логика: у меня не используется вообще ничего и, следовательно, ничего, кроме того неравенства.

(Оффтоп)

Так уж и ничего? А утверждение о том, что правая часть в некоторой точке достигает своего максимального значения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group