2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение24.04.2011, 21:23 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Докажите обычное AM-GM, пользуясь только $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ для неотрицательных $x$ и $y$.
Например, докажите, что для неотрицательных $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ выполняется:
$$\frac{a+b+c+d+e}{5}\geq\sqrt[5]{abcde}$$
в одну строчку. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение24.04.2011, 21:31 


14/04/11
33
arqady в сообщении #438376 писал(а):
Докажите обычное AM-GM, пользуясь только $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ для неотрицательных $x$ и $y$.
Например, докажите, что для неотрицательных $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$ выполняется:
$$\frac{a+b+c+d+e}{5}\geq\sqrt[5]{abcde}$$
в одну строчку. :-)


Вопрос: какой смысл несёт в себе это задание? В одну строчку можно расписать так: "по индукции всё получается)"

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение24.04.2011, 23:11 
Заслуженный участник


03/12/07
344
Украина
По Огюстену Луи Коши?
$\left( {\left( {a + b} \right) + \left( {c + d} \right)} \right) + \left( {\left( {e + \sqrt[5]{{abcde}}} \right) + \left( {\sqrt[5]{{abcde}} + \sqrt[5]{{abcde}}} \right)} \right) \ge 8\sqrt[5]{{abcde}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение25.04.2011, 01:12 


14/04/11
10
Если делать штурмом, то можно и am-gm для двух не пользоваться. Да и вообще ничем. $(a-m)(b+m)>ab$ равносильно тому, что
$a-b>m$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2011, 05:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Edward_Tur в сообщении #438389 писал(а):
По Огюстену Луи Коши?
$\left( {\left( {a + b} \right) + \left( {c + d} \right)} \right) + \left( {\left( {e + \sqrt[5]{{abcde}}} \right) + \left( {\sqrt[5]{{abcde}} + \sqrt[5]{{abcde}}} \right)} \right) \ge 8\sqrt[5]{{abcde}}$

Да! :D
Можно ещё сильнее конкретизировать:
$$a+b+c+d+e+3\sqrt[5]{abcde}\geq2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{cd}}\cdot2\sqrt{2\sqrt{e\sqrt[5]{abcde}}\cdot2\sqrt[5]{abcde}}}=8\sqrt[5]{abcde}$$
Такое ощущение, что в этом мире всё уже когда-то было. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение25.04.2011, 10:32 
Заслуженный участник


02/08/10
629
А так можно?)
$\sum\limits_{cyc}a \ge \sum\limits_{cyc}\sqrt{ab} \ge \sum\limits_{cyc}\sqrt[4]{abcd}\ge \sum\limits_{cyc}\sqrt[8]{a^2b^2c^2de}\ge \sum\limits_{cyc}\sqrt[16]{a^4b^3c^3d^3e^3}\ge....$
После $4n$ аналогичных повторений получаем $...\ge  \sum\limits_{cyc}\sqrt[2^{4n}]{a^{\frac{2^{4n}+4}{5}}b^{\frac{2^{4n}-1}{5}}c^{\frac{2^{4n}-1}{5}}d^{\frac{2^{4n}-1}{5}}e^{\frac{2^{4n}-1}{5}}}$$...\ge  \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{cyc}\sqrt[2^{4n}]{a^{\frac{2^{4n}+4}{5}}b^{\frac{2^{4n}-1}{5}}c^{\frac{2^{4n}-1}{5}}d^{\frac{2^{4n}-1}{5}}e^{\frac{2^{4n}-1}{5}}}=\sqrt[5]{abcde}$
Тут правда 2 строчки получилось)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.04.2011, 15:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
MrDindows, в действительности, добавка $3\sqrt[5]{abcde}$ избавляет от предельного перехода. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 09:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Доказываю (независимо от $n$ и даже от $n=2$)

Если левая часть константа, то правая максимальна при всех одинаковых иксах, т.к. иначе её можно увеличить.

Ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 09:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
ewert в сообщении #438751 писал(а):
Ч.т.д.

Неверно, т.к. всё должно заканчиваться буквами К.т.д. (как и следовало доказать), ведь
arqady в сообщении #438376 писал(а):
пользуясь только $\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 09:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

TOTAL в сообщении #438754 писал(а):
Неверно, т.к. всё должно заканчиваться буквами К.т.д. (как и следовало доказать), ведь

Неверная логика: у меня не используется вообще ничего и, следовательно, ничего, кроме того неравенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Докажите AM-GM в одну строчку
Сообщение26.04.2011, 10:04 
Заслуженный участник


20/12/10
8858

(Оффтоп)

ewert в сообщении #438756 писал(а):
Неверная логика: у меня не используется вообще ничего и, следовательно, ничего, кроме того неравенства.

(Оффтоп)

Так уж и ничего? А утверждение о том, что правая часть в некоторой точке достигает своего максимального значения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group