Однородный диск вращается при наличии тормозящего момента

[Vitalyi]

Привет,
условие такое: однородный диск массой $m$ и радиусом $R$ вращается с начальной угловой скоростью $w_0$ при наличии тормозящего момента $M=-\alpha\omega^n$. Найти зависимость от времени угловой скорости $\omega(t)$ и углового перемещения $\phi(t)$ диска, число оборотов $N$ за время $T$.
Теперь то что дано: $m$, $R$, $\omega_0$ и $\alpha$, $n=0,2; 0,5; 1$.
Первым делом, я думаю надо выразить $\omega(t)$
$M=I\epsilon$
$I\frac{d\omega}{dt}=-\alpha\omega^n$
$\int\frac{d\omega}{\alpha\omega^n}=\int\frac{dt}{I}$
проинтегрировав я получил вот это $\omega=(\frac{(n-1)t}{I})^\frac{1}{1-n}$ (если подставить $n=1$, то уже видна ошибка).
на сколько я понимаю $\omega=\omega_0+\epsilon t$, то подставив в это выражение $\epsilon=\frac{M}{I}$, получаем $\omega=\omega_0-t\frac{2\alpha\omega^n}{mR^2}$

Вопрос: правильно ли я начал решение задачи, и если да, то где моя ошибка? Заранее спасибо.

[Diffeomorfizm]

Vitalyi в сообщении #438130 писал(а):

на сколько я понимаю $\omega=\omega_0+\epsilon t$

а это почему еще? вы же уже нашли $\omega$ выше.
А ошиблись вы при интегрировании. при $n=1$ логарифм будет)

[Vitalyi]

Спасибо. Тогда мне непонятно что с $\omega_0$ ведь тогда, когда тормозящий момент начинает действовать, с этого момента начинается отсчет времени, т.е. как я понимаю при $t=0$ $\omega=\omega_0$? Но этого не происходит, при подстановке в полученную формулу

[ukku]

А вы константу интегрирования не забыли случайно ?

[Vitalyi]

Вы имеете ввиду константу $\alpha$ ? она просто по условию равна 1 и я просто ее отбросил. Или константу $+C$ после интегрирования?

[ukku]

Vitalyi в сообщении #438203 писал(а):

Или константу $+C$ после интегрирования?

Ее самую. Её определяют по начальным условиям, так что бы в начальный момент времени у вас была нужная угловая скорость.

[Vitalyi]

Допустим тогда, что с константой интегрирования у нас появится нужная скорость при $t=0$, но при увеличении времени, скорость будет возрастать, а должно быть наоборот? Ведь так?

[Diffeomorfizm]

Vitalyi в сообщении #438244 писал(а):

скорость будет возрастать

с чего это? посмотрите внимательно на выражение для $\omega(t)$

[Vitalyi]

я смотрю на $\omega=(\frac{(n-1)t}{I})^\frac{1}{1-n}$, а вы наверное говорите вот про это $\omega=\omega_0-t\frac{2\alpha\omega^n}{mR^2}$, да?

[ukku]

Vitalyi в сообщении #438257 писал(а):

я смотрю на $\omega=(\frac{(n-1)t}{I})^\frac{1}{1-n}$, а вы наверное говорите вот про это $\omega=\omega_0-t\frac{2\alpha\omega^n}{mR^2}$, да?

Пусть n = 2, степень отрицательна - убывает.
$\int\frac{d\omega}{\alpha\omega^n}= C + \int\frac{dt}{I}$
Посчитайте так и выразите омегу, что бы понять к чему клонят :)
Дальше из информации о том, что $\omega(0)=\omega_0$, вы находите константу.

[dovlato]

Vitalyi в сообщении #438130 писал(а):

правильно ли я начал

Начал правильно. Неправильно инт-л слева взял.