Максимльная разность (задачка с "подводным камнем")

[Xenia1996]

По окружности расставлены 16 вещественных чисел.
Сумма любых 3 чисел, стоящих подряд, не меньше 2.
Сумма любых 5 чисел, стоящих подряд, не больше 4.
Какое максимальное значение может принимать разность двух чисел, стоящих подряд?

[Руст]

2.
Легко заметить, что
$x_i=(x_{i-2}+x_{i-1}+x_i)+(x_i+x_{i+1}+x_{i+2})-(x_{i-2}+x_{i-1}+x_i+x_{i+1}+x_{i+2})\ge 0$.
Поэтому каждое число $0\le x_i\le 2$.
Распределим 0 и 2 так
$x_0=x_{16}=2,x_{3k}=0, \ 1\le k\le 5, x_{3k+1}=0, \ 0\le k< 5, \ x_{3k+2}=2, \ 0\le k<5.$

[Xenia1996]

Там вся изюминка была в том, чтобы пример построить. Многие, потерпев неудачу в построении, начинают думать, что разность не может равняться двум, и в дальнейшем безуспешно пытаются доказать это. У нас на кружке только два человека справились с этой задачкой :)

[svv]

Руст, у Вас $x_{14}=x_{0}=x_{2}=2$, и $x_{14}+x_{15}+x_{0}+x_{1}+x_{2}=6$.
Вы можете просто перечислить 16 чисел?

[Xenia1996]

svv в сообщении #437983 писал(а):

Руст, у Вас $x_{14}=x_{0}=x_{2}=2$, и $x_{14}+x_{15}+x_{0}+x_{1}+x_{2}=6$.
Вы можете просто перечислить 16 чисел?

2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0.

[Руст]

16 можно заменить на любое натуральное число $\ge 5$.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #438126 писал(а):

16 можно заменить на любое натуральное число $\ge 5$.

Можно и меньше пяти!
Почему Вы думаете, что 4 нельзя?

[Руст]

А у вас в условие сумма 5 идущих подряд чисел. Конечно пять по кругу можно взять и с повторениями чисел, но тогда максимальная разница не может равняться 2.

[Xenia1996]

Руст в сообщении #438182 писал(а):

А у вас в условие сумма 5 идущих подряд чисел.

Вот именно!
Поэтому, если чисел меньше 5, то утверждение "сумма любых 5 идущих подряд чисел не превосходит 4" является верным, поскольку пяти таких чисел не существует.