Незадача с многочленом

[Xenia1996]

Задача:

Цитата:

Для многочлена $P(x)$ степени $n$ выполняется

$P(k)=k^{-1}$ при $k=1, 2, 4, 8, \dots 2^n$

Чему равно $P(0)$?

При $n=0$ имеем $P(x)=1$, следовательно $P(0)=1$

При $n=1$ имеем $P(x)=-\frac{1}{2}x+1.5$, следовательно $P(0)=1.5$

При $n=2$ проводим параболу через три точки (1, 1), (2, 0.5), (4, 0.25) и получаем $P(0)=\frac{7}{4}$

У меня такое ощущение, что ответ на задачу будет $P(0)=2-\frac{1}{2^n}$

Можете подсказать, как к этому прийти?
Заранее благодарна!

[Полосин]

Ответ верный.
$xP(x)-1=C(x-1)(x-2)(x-4)...(x-2^n)$.
Положив $x=0$, находим $C$. Продифференцировав и положив $x=0$, находим $P(0)$.

[Xenia1996]

Полосин в сообщении #438052 писал(а):

Ответ верный.
$xP(x)-1=C(x-1)(x-2)(x-4)...(x-2^n)$.
Положив $x=0$, находим $C$. Продифференцировав и положив $x=0$, находим $P(0)$.

Огромное спасибо, но задача эта - школьная.
Видимо, существует более простое решение.

[Joker_vD]

Xenia1996 в сообщении #438107 писал(а):

Видимо, существует более простое решение.

Тогда не дифференцируйте, а вычислите коэффициент при $x$ в правой части и приравняйте к коэффициенту при $x$ в левой части.

[svv]

Определим полиномы $P_n(x)$ рекуррентной формулой:
$P_0(x)=1$
$P_{n+1}(x)=\frac{1-x}2 P_n(\frac x 2) +1$

Тогда их свойство $P_n(2^m)=2^{-m}$ для $m=0..n$ доказывается по индукции. Оно верно для $n=0$. Пусть оно верно для некоторого $n$. Тогда
$P_{n+1}(2^m)=\frac{1-2^m}2 P_n(2^{m-1}) +1=\frac{1-2^m}2 \frac 1 {2^{m-1}}+1=2^{-m}$ $(m>0)$
$P_{n+1}(2^0)=\frac{1-1}2 P_n(\frac 1 2) +1 = 1=2^{-0}$

Из рекуррентной формулы получаем
$P_{n+1}(0)=\frac 1 2 P_n(0) +1$