Но, между прочим, для конкретно квадратичных многочленов красивше выйдет другое (ну т.е. ПМСМ). Там действительно лучше перейти к отрезку
![$[-1;1]$ $[-1;1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/4/824138638ae0b24e5665173857dfe11e82.png)
. Тогда для линейных многочленов функция прям-таки напрашивается: она равна единице на участке
![$[-1/2;1/2]$ $[-1/2;1/2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/0/3d056c2b88790974a3573e9893729ad482.png)
и минус единице на крайних (поскольку и меры этих участков одинаковы, и для первой степени икса получается ноль просто в силу нечётности).
Теперь надо всё это модифицировать так, чтоб и квадрату икса получилось ортогонально. Ну это легко. Начнём симметрично раздвигать влево и вправо участки, примыкающие к нулю, ближе к концам промежутка с сохранением их длин. Центральный освобождающийся участок заполним, естественно, минус единичкой. Тогда ортогональность линейным многочленам сохранится, а для интеграла с чистым иксом в квадрате значение будет непрерывно меняться от минус чего-то в крайнем левом положении до плюс чего-то, того же по модулю, в крайнем правом; ну и значит, в некотором промежуточном окажется равной нулю, ч.т.д.
(это, кстати, не соответствует моей конструкции из предыдущего поста; я сперва именно последнее и пытался обобщить, но потом как-то разочаровался)